Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} -

Câu hỏi số 852284:

Thông hiểu

Cho hai biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}$ và $B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{7\sqrt{x} - 9}{x - 9}(x > 0;x \neq 9)$.

1) Tính A khi $x = 4$.

2) Cho biểu thức $P = \dfrac{A}{B}$. Chứng minh rằng $P = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}$.

3) Tìm x để $P \geq 2$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852284

Phương pháp giải

- Thay giá trị $x$ vào biểu thức để tính toán (chú ý điều kiện xác định).

- Để rút gọn B, ta quy đồng mẫu thức với mẫu thức chung là $x - 9 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)$.

- Giải bất phương trình với biểu thức $P$.

Giải chi tiết

1) ĐKXĐ: $x > 0$.

Thay $x = 4$ (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức A ta được:

$A = \dfrac{\sqrt{4} - 2}{\sqrt{4}} = \dfrac{2 - 2}{2} = 0$.

2) Rút gọn biểu thức B:

$B = \dfrac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} - \dfrac{7\sqrt{x} - 9}{x - 9}$

$= \dfrac{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} + 3) - (7\sqrt{x} - 9)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$= \dfrac{x + 2\sqrt{x} - 3 - 7\sqrt{x} + 9}{x - 9}$

$= \dfrac{x - 5\sqrt{x} + 6}{x - 9}$

$= \dfrac{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} - 3)}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}$

$= \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3}$.

Ta có $P = \dfrac{A}{B} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}}:\dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x}} \cdot \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} - 2} = \dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}}$ (đpcm)

3) Để $P \geq 2$ ta có:

$\dfrac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}} \geq 2$

$1 + \dfrac{3}{\sqrt{x}} \geq 2$

$\dfrac{3}{\sqrt{x}} \geq 1$

$\sqrt{x} \leq 3$

$x \leq 9$.

Kết hợp với điều kiện $x > 0,x \neq 9$, ta được $0 < x < 9$.

Vậy $0 < x < 9$ thì $P \geq 2$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link