1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình: Hưởng ứng phong trào

Câu hỏi số 852285:

Vận dụng

1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình:

Hưởng ứng phong trào Tết trồng cây, chi đoàn thanh niên dự định trồng 30 cây trong một thời gian nhất định. Do mỗi giờ chi đoàn trồng nhiều hơn dự định 5 cây nên đã hoàn thành công việc trước dự định 20 phút và trồng thêm được 10 cây nữa. Tính số cây mà chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ.

2) Biết rằng phương trình bậc hai $x^{2} - ax - 3 = 0$ có một nghiệm là $x = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}$. Tìm bình phương của hiệu hai nghiệm của phương trình trên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852285

Phương pháp giải

1) Gọi ẩn là số cây trồng mỗi giờ dự định. Lập phương trình dựa trên mối quan hệ về thời gian (Thời gian = Tổng số cây / Năng suất).

2) Sử dụng hệ thức Vi-ét cho phương trình bậc hai: $x_{1} + x_{2} = a,x_{1}x_{2} = - 3$.

Bình phương hiệu hai nghiệm là ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4x_{1}x_{2}$.

Giải chi tiết

1) Gọi số cây chi đoàn dự định trồng trong mỗi giờ là $x$ (cây/giờ, $x > 0$).

Thời gian dự định trồng 30 cây là: $\dfrac{30}{x}$ (giờ).

Thực tế số cây trồng được là $30 + 10 = 40$ (cây).

Năng suất thực tế là $x + 5$ (cây/giờ).

Thời gian thực tế hoàn thành là: $\dfrac{40}{x + 5}$ (giờ).

Đổi 20 phút = $\dfrac{1}{3}$ giờ. Ta có phương trình:

$\dfrac{30}{x} - \dfrac{40}{x + 5} = \dfrac{1}{3}$

$3.\left\lbrack {30(x + 5) - 40x} \right\rbrack = x(x + 5) $

$3.(150 - 10x) = x^{2} + 5x$

$ x^{2} + 35x - 450 = 0$.

Giải phương trình ta được $x = 10$ (nhận) hoặc $x = - 45$ (loại).

Vậy dự định mỗi giờ trồng 10 cây.

2) Xét phương trình $x^{2} - ax - 3 = 0$. Có $\Delta = a^{2} - 4.1.( - 3) = a^{2} + 12$.

Vì $\Delta > 0$ nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$.

Theo hệ thức Vi-ét: $x_{1} + x_{2} = a$ và $x_{1}x_{2} = - 3$.

Ta có ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 4x_{1}x_{2} = a^{2} - 4.( - 3) = a^{2} + 12$.

Mặt khác một nghiệm là $\dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}$ nên ta có: $\dfrac{a + \sqrt{a^{2} + 12}}{2} = \dfrac{3 + \sqrt{21}}{2}$.

Đồng nhất hệ số ta được $a = 3$.

Khi đó ${(x_{1} - x_{2})}^{2} = 3^{2} + 12 = 21$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link