Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {- 2\,;\,\, 6\,;\,\, 0} \right)$ và

Câu hỏi số 852312:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A\left( {- 2\,;\,\, 6\,;\,\, 0} \right)$ và mặt phẳng $(\alpha):3x + 4y + 89 = 0$. Đường thẳng $d$ thay đổi nằm trên mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ và luôn đi qua điểm $A$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của$M\left( {4\,;\,\, - 2\,;\,\, 3} \right)$ trên đường thẳng d. Khoảng cách nhỏ nhất từ $H$ đến mặt phẳng $(\alpha)$ bằng bao nhiêu?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 15

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852312

Phương pháp giải

Gọi $J$ là hình chiếu của $I$ trên $\Delta$

$\min\,\, d\left( {H,(\alpha)} \right) = HJ$

Giải chi tiết

Gọi $K$ là hình chiếu của $M$ trên $\left( {Oxy} \right)$

Khi đó $MK\bot AH$

Mà $AH\bot MH$ nên $AH\bot\left( {MKH} \right)$

Suy ra $AH\bot KH$ hay $\angle AHK = 90{^\circ}$

$\left. (\alpha)\bot\left( {Oxy} \right)\Rightarrow d\left( {H,(\alpha)} \right) = d\left( {H,\Delta} \right) \right.$

Gọi $I$ là tâm đường tròn đường kính $AK$, $J$ là hình chiếu vuông góc của $I$ trên $\Delta$

Khi đó $I\left( {1;2;0} \right)$

Ta có: $IJ = d\left( {I,(\alpha)} \right) = \dfrac{\left| {3.1 + 4.2 + 89} \right|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = 20$

Giá trị nhỏ nhất $\min d(H, (\alpha)) = \min d(H, \Delta) = d(I, \Delta) - R = 20 - 5 = 15$

Đáp án cần điền là: 15

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.