Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {10\,;\,\, 6\,;\,\, - 2}

Câu hỏi số 852613:

Vận dụng cao

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {10\,;\,\, 6\,;\,\, - 2} \right)$, $B\left( {5\,;\,\, 10\,;\,\, - 9} \right)$ và mặt phẳng $(\alpha):2x + 2y + z - 12 = 0$. Điểm $M$ di động trên $(\alpha)$ sao cho $MA$, $MB$ luôn tạo với $(\alpha)$ các góc bằng nhau. Biết rằng $M$ luôn thuộc một đường tròn $(C)$ cố định có tâm $N\left( {a\,;\,\, b\,;\,\, c} \right)$. Tính tổng $a^{2} + b^{2} + c^{2}$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 248

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:852613

Phương pháp giải

Tính AH, BK

Chứng minh $\Delta MAH \sim \Delta MBK(g.g)$ từ đó tìm toạ độ M, I, N

Giải chi tiết

Ta có: $AH = d\left( {A,(\alpha)} \right) = \dfrac{\left| {2.10 + 2.6 - 2 - 12} \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}} = 6$

$BK = d\left( {B,(\alpha)} \right) = \dfrac{\left| {2.5 + 2.10 - 9 - 12} \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}} = 3$

Xét hai tam giác vuông $\Delta MAH$và $\Delta MBK$có: $\angle AMH = \angle BMK.$

$\left. \Rightarrow\Delta MAH \sim \Delta MBK(g.g) \right.$

$\left. \Rightarrow\dfrac{AH}{BK} = \dfrac{MH}{MK} = 2\Rightarrow\dfrac{MH^{2}}{MK^{2}} = 4 \right.$

Gọi $M\left( {x;y;z} \right)$. Ta có: $H\left( {6;2; - 4} \right);K\left( {3;8; - 10} \right)$

$MH^{2} = \left( {x - 6} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {x + 4} \right)^{2}$;$MK^{2} = \left( {x - 3} \right)^{2} + \left( {y - 8} \right)^{2} + \left( {x + 10} \right)^{2}$

$\left( {x - 6} \right)^{2} + \left( {y - 2} \right)^{2} + \left( {x + 4} \right)^{2} = 4\left\lbrack {\left( {x - 3} \right)^{2} + \left( {y - 8} \right)^{2} + \left( {x + 10} \right)^{2}} \right\rbrack$

$3x^{2} + 3y^{2} + 3z^{2} - 12x - 60y + 72z + 636 = 0$

$x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4x - 20y + 24z + 212 = 0$

$\left. \Rightarrow I\left( {2;10; - 12} \right) \in (\alpha)\Rightarrow N\left( {2;10; - 12} \right) \right.$

$a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2^{2} + 10^{2} + \left( {- 12} \right)^{2} = 248$

Đáp án cần điền là: 248

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.