Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Thi thử toàn quốc TN THPT và ĐGNL HCM - Ngày 07-08/02/2026
 ↪ TN THPT - Trạm 3 ↪ ĐGNL HCM
Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x + 2}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai

Câu hỏi số 855032:
Thông hiểu

Cho hàm số $y = \dfrac{x - 1}{x + 2}$ có đồ thị (C). Gọi I là giao điểm của hai tiệm cận của (C).

Đúng Sai
a) Hàm số đồng biến trên ${\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- 2} \right\}$.
b) Hàm số có tâm đối xứng $I(-2; 1)$.
c) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm x = 1 là $y = \dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3}$.
d) Xét tam giác đều ABI có hai đỉnh A, B thuộc (C), đoạn thẳng AB có độ dài bằng $2\sqrt{3}$.

Đáp án đúng là: S; Đ; Đ; Đ

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:855032
Phương pháp giải

a) Xét dấu y’.

b) Tâm đối xứng của (C) là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận ngang.

c) Phương trình tiếp tuyến của y = f(x) tại $x = x_{0}$ là: $y = f'(x_{0})(x - x_{0}) + f(x_{0})$.

d) Sử dụng kiến thức về đường phân giác và tam giác đều để tính.

Giải chi tiết

a) Sai: $y' = \dfrac{3}{{(x + 2)}^{2}} > 0$ $\forall x \neq - 2$.

Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left( {- \infty; - 2} \right)$ và $\left( {- 2; + \infty} \right)$. Cách viết ${\mathbb{R}}\backslash\left\{ - 2 \right\}$ là sai.

b) Đúng: Tâm đối xứng của đồ thị (C) là giao điểm của hai tiệm cận.

(C) có tiệm cận ngang là $y = 1$, tiệm cận đứng là $x = -2$. Vậy $I(-2; 1)$.

c) Đúng: Đặt $y = f(x) = \dfrac{x - 1}{x + 2}$. Ta có: $f'(1) = \dfrac{1}{3}$; $f(1) = 0$.

Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm $x = 1$ là:

$\left. y = \dfrac{1}{3}(x - 1) + 0 \Leftrightarrow y=\dfrac{1}{3}x - \dfrac{1}{3} \right.$.

d) Đúng: Để tam giác ABI đều, I là tâm đối xứng thì A và B phải đối xứng nhau qua một trong hai đường phân giác $\Delta_{1}$, $\Delta_{2}$ của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Các đường tiệm cận song song với hai trục tọa độ nên góc tạo bởi lần lượt hai đường thẳng $\Delta_{1}$, $\Delta_{2}$ với trục Ox là $45^{o}$ và $135^{o}$.

Do đó hệ số góc của $\Delta_{1}$, $\Delta_{2}$ lần lượt là $k_{1} = \tan 45^{o} = 1$ và $k_{2} = \tan 135^{o} = - 1$.

$\Delta_{1}$, $\Delta_{2}$ đi qua I(-2; 1) nên ta có: $\left. \left\{ \begin{array}{l} {\Delta_{1}:1 = 1.( - 2) + c_{1}} \\ {\Delta_{2}:1 = - 1.( - 2) + c_{2}} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {c_{1} = 3} \\ {c_{2} = - 1} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\Delta_{1}:y = x + 3} \\ {\Delta_{2}:y = - x - 1} \end{array} \right. \right.$.

Ta có $\Delta_{2}$ cắt (C) nên A, B đối xứng qua $\Delta_{2}$.

Gọi H là hình chiếu của A lên đường phân giác d. Trong tam giác đều ABI, góc giữa đường thẳng IA và đường phân giác d phải là $30^{o}$.

Sử dụng công thức cosin góc giữa đường thẳng IA và d: $\cos 30^{o} = \dfrac{\left| {\overset{\rightarrow}{IA}.\overset{\rightarrow}{u_{d}}} \right|}{\left| \overset{\rightarrow}{IA} \right|.\left| \overset{\rightarrow}{u_{d}} \right|}$.

$\Delta_{2}$ có một vecto chỉ phương là $\overset{\rightarrow}{u_{d}} = (1; - 1)$.

Vì A thuộc (C) nên $A\left( {x_{A};\dfrac{x_{A} - 1}{x_{A} + 2}} \right)$; $\overset{\rightarrow}{IA} = \left( {x_{A} + 2;\dfrac{x_{A} - 1}{x_{A} + 2} - 1} \right) = \left( {x_{A} + 2;\dfrac{- 3}{x_{A} + 2}} \right)$.

Đặt $\left. t = x_{A} + 2\Rightarrow\overset{\rightarrow}{IA} = \left( {t;\dfrac{- 3}{t}} \right) \right.$.

Suy ra $\left. \cos 30^{o} = \dfrac{\left| {t.1 + \left( {- \dfrac{3}{t}} \right).( - 1)} \right|}{\sqrt{t^{2} + \dfrac{9}{t^{2}}}.\sqrt{2}}\Leftrightarrow\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\left| {t + \dfrac{3}{t}} \right|}{\sqrt{2\left( {t^{2} + \dfrac{9}{t^{2}}} \right)}} \right.$.

Bình phương hai vế: $\left. \dfrac{3}{4} = \dfrac{\left( {t + \dfrac{3}{t}} \right)^{2}}{2\left( {t^{2} + \dfrac{9}{t^{2}}} \right)}\Leftrightarrow\dfrac{3}{4} = \dfrac{t^{2} + \dfrac{9}{t^{2}} + 6}{2\left( {t^{2} + \dfrac{9}{t^{2}}} \right)} \right.$.

Đặt $u = t^{2} + \dfrac{9}{t^{2}} = t^{2} + \left( \dfrac{- 3}{t} \right)^{2} = IA^{2}$. Ta có phương trình:

$\left. \dfrac{3}{4} = \dfrac{u + 6}{2u}\Rightarrow 6u = 4u + 24\Rightarrow 2u = 24\Rightarrow u = 12 \right.$.

Vậy $IA^{2} = 12$. Vì tam giác ABI đều nên cạnh $AB = IA = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Đáp án cần chọn là: S; Đ; Đ; Đ

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn