Cho biểu thức $P = \dfrac{3x + 4\sqrt{x} - 7}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} -

Câu hỏi số 855629:

Vận dụng

Cho biểu thức $P = \dfrac{3x + 4\sqrt{x} - 7}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1}$.

a. Rút gọn biếu thức $P$.

b. Tìm tất cả các giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855629

Phương pháp giải

a) Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của biểu thức: Biểu thức dưới căn không âm và mẫu thức khác 0.

Phân tích các mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung.

Quy đồng mẫu thức, thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia phân thức.

Rút gọn biểu thức về dạng tối giản nhất.

b) Biến đổi $P$ về dạng $P = A + \dfrac{k}{B(x)}$, trong đó $A$ là số nguyên.

Để $P$ nguyên thì $B(x)$ phải là ước của $k$.

Tìm $x$ từ các ước số đó và đối chiếu với ĐKXĐ.

Giải chi tiết

a. ĐКХĐ: $\left\{ \begin{array}{l} {x + 2\sqrt{x} - 3 \neq 0} \\ {\sqrt{x} - 1 \neq 0} \\ {x \geq 0} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x \neq 1} \\ {x \geq 0} \end{array} \right. \right.$.

Với $x \geq 0,x \neq 1$, ta có

$P = \dfrac{3x + 4\sqrt{x} - 7}{x + 2\sqrt{x} - 3} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1} = \dfrac{3x + 4\sqrt{x} - 7}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} - \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} + 3} - \dfrac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x} - 1}$

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow P = \dfrac{3x + 4\sqrt{x} - 7 - \left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} - 1} \right) - \left( {\sqrt{x} + 3} \right)\left( {\sqrt{x} - 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} = \dfrac{x + 4\sqrt{x} + 3}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} \right. \\ {= \dfrac{\left( {\sqrt{x} + 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 3} \right)} = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}} \end{array}$

Vậy $P = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}$ với $x \geq 0,x \neq 1$.

b. Với $x \geq 0,x \neq 1$, có $P = \dfrac{\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1} = 1 + \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}$.

Để $P$ nguyên thì $\dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}$ nguyên $\left. \Leftrightarrow\sqrt{x} - 1 \in (2) = \left\{ {\pm 1; \pm 2} \right\} \right.$, kết hợp $\left. x \geq 0,x \neq 1\Rightarrow x \in \left\{ {0;4;9} \right\} \right.$

Vậy tập giá trị nguyên của $x$ thỏa mãn là $\left\{ {0;4;9} \right\}$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link