Cho $P(x)$ là đa thức có tất cả các hệ số nguyên. Biết rằng, $P(2025)$ và $P(2026)$ là các số

Câu hỏi số 855630:

Vận dụng

Cho $P(x)$ là đa thức có tất cả các hệ số nguyên. Biết rằng, $P(2025)$ và $P(2026)$ là các số tự nhiên lẻ. Chứng minh rằng, đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855630

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất của đa thức với hệ số nguyên: Nếu $P(x)$ là đa thức hệ số nguyên thì $a - b$ chia hết $P(a) - P(b)$ với mọi số nguyên $a, b$.

Sử dụng phương pháp phản chứng: Giả sử phương trình có nghiệm nguyên, từ đó suy ra điều vô lý dựa trên tính chất chia hết hoặc tính chẵn lẻ.

Giải chi tiết

Giả sử đa thức $P(x)$ bậc $n \geq 1$ thoả mãn $P(2025),P(2026)$ là số tự nhiên và có nghiệm nguyên $a$.

Khi đó theo định lý Bezout thì $P(x) = \left( {x - a} \right) \cdot Q(x)$, với bậc của đa thức $Q(x)$ là $n - 1$.

Ta có: $P(2025)P(2026) = \left( {2025 - a} \right) \cdot Q(2025) \cdot \left( {2026 - a} \right) \cdot Q(2026)$.

Do $2025 - a,2026 - a$ là hai số nguyên liên tiếp nên $\left( {2025 - a} \right)\left( {2026 - a} \right)$ chẵn.

Mặt khác $P(2025)P(2026)$ lẻ. Do đó xảy ra điều mâu thuẫn.

Vậy đa thức $P(x)$ không có nghiệm nguyên.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link