a. Cho số nguyên dương $n$ là tích của ba số nguyên tố phân biệt. Biết rằng, tổng tất cả

Câu hỏi số 855632:

Vận dụng

a. Cho số nguyên dương $n$ là tích của ba số nguyên tố phân biệt. Biết rằng, tổng tất cả các ước nguyên dương của $n$ bằng $2n - 16$. Chứng minh rằng, $n - 8$ chia hết cho 6 .

b. Cho $p$ là số nguyên tố thoả mãn $p - 1$ chia hết cho 4 . Chứng minh rằng, $p^{3} - p^{2} - 4$ không phải là số chính phương.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855632

Phương pháp giải

a) Sử dụng công thức tổng ước số: Nếu $n = pqr$ thì tổng ước $\sigma(n) = (p + 1)(q + 1)(r + 1)$.

Xét tính chẵn lẻ và chia hết cho 3 để chứng minh chia hết cho 6.

b) Sử dụng tính chất số chính phương chia cho 4 hoặc đánh giá khoảng giữa các số chính phương liên tiếp.

Xét số dư theo modulo.

Tính chất: Nếu hai số nguyên dương $a,b$ nguyên tố cùng nhau và tích $ab$ là số chính phương thì $a,b$ đều là số chính phương.

Giải chi tiết

a. Giả sử $n = pqr$, với $p,q,r$ là các số nguyên tố phân biệt.

Ta có các ước dương của $n$ là $1,p,q,r,pq,qr,pr,pqr$.

Theo giả thiết thì $2n - 16 = 1 + p + q + r + pq + qr + rp + pqr = \left( {1 + p} \right)\left( {1 + q} \right)\left( {1 + r} \right)$.

Tức là $4 \mid \left( {1 + p} \right)\left( {1 + q} \right)\left( {1 + r} \right).2pqr - 16 = \left( {1 + p} \right)\left( {1 + q} \right)\left( {1 + r} \right)$.

Trong $p,q,r$ phải có ít nhất hai số nguyên tố lẻ. Suy ra $4 \mid \left( {1 + p} \right)\left( {1 + q} \right)\left( {1 + r} \right) = 2\left( {n - 8} \right)$.

Hay nói cách khác $2 \mid n - 8$. (1)

Giả sử ta $p,q,r$ là các số nguyên tố chia cho 3 dư 1 , thì có $p + 1,q + 1,r + 1$ chia cho 3 dư 2 .

Do đó $\left( {1 + p} \right)\left( {1 + q} \right)\left( {1 + r} \right)$ chia cho 3 dư 2 và $2pqr$ chia cho 3 dư 2 .

Suy ra $16 = 2pqr - \left( {1 + p} \right)\left( {1 + q} \right)\left( {1 + r} \right)$ chia hết cho 3.

Dẫn đến điều vô lý.

Như vậy trong ba số tồn tại một số chia cho 3 dư 2.

Khi đó $3 \mid \left( {1 + p} \right)\left( {1 + q} \right)\left( {1 + r} \right) = 2\left( {n - 8} \right)$ hay $3 \mid n - 8$.

Từ (1) và (2) ta có $n - 8$ chia hết cho 6 .

b. Giả sử $p^{3} - p^{2} - 4$ là số chính phương, đặt $p^{3} - p^{2} - 4 = a^{2}$.

Khi đó $a^{2} = \left( {p - 2} \right)\left( {p^{2} + p + 2} \right)$.

Đặt $d = \text{gcd}\left( {p - 2,p^{2} + p + 2} \right)$. Suy ra $d\left| \left( {p - 2} \right)\left( {p + 3} \right) + 8\Rightarrow d \right|8$.

Nếu $d$ chẵn thì $p - 2$ chẵn và kéo theo $p - 1$ lẻ, vô lý do $4 \mid p - 1$.

Nếu $d = 1$. Khi đó $p - 2,p^{2} + p + 2$ đều là số chính phương.

Do $p - 1$ chia hết cho 4 nên $p - 2$ chia cho 4 dư 3 , suy ra $p - 2$ không thể là số chính phương (do số chính phương chia cho 4 chỉ dư 0 hoặc 1).

Như vậy điều giả sử là sai.

Vậy $p^{3} - p^{2} - 4$ không thể là số chính phương.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link