Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$. nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $BH$ và $CQ$ là hai đường cao

Câu hỏi số 855633:

Vận dụng

Cho tam giác nhọn $ABC(AB < AC)$. nội tiếp đường tròn $(O)$. Gọi $BH$ và $CQ$ là hai đường cao của tam giác $ABC$. Tiếp tuyến tại $B$ và tại $C$ của đường trờn $(O)$ cắt nhau tại $M$. Hai đường thẳng $OM$ và $BC$ cắt nhau tại $N$.

a) Chứng minh rằng, $\widehat{ABO} = \widehat{BHN}$.

b) Đường thẳng $OM$ cắt đường tròn ($O$) tại $D$ và $S$ ($D$ nằm giữa $O$ và $M$). Hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $F$. Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$. Chứng minh rằng, hai đường thẳng $OI$ và $AS$ vuông góc với nhau.

c) Hai đường thẳng $AM$ và $BC$ cắt nhau tại $E$. Hai đường thẳng $AN$ và $HQ$ cắt nhau tại $G$. Chứng minh rằng, hai đường thẳng $GE$ và $OM$ song song với nhau.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:855633

Phương pháp giải

a) Sử dụng tứ giác nội tiếp. Sử dụng góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung.

b) Chứng minh $OA$ là tiếp tuyến của đường tròn $(AFN)$. Sử dụng tính chất trục đẳng phương hoặc tính đối xứng.

c) Chứng minh các tam giác đồng dạng để suy ra tỉ số $\left. \dfrac{AG}{AE} = \dfrac{AN}{AM}\Rightarrow GE \parallel OM \right.$

Giải chi tiết

a. Ta có tam giác $ABO$ cân tại $O$ và tam giác $HNB$ cân tại $N$ nên $\angle BHN = \angle NBH$.

Ta có biến đối góc như sau

$\angle ABO = \dfrac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \dfrac{180^{\circ} - 2\angle ACB}{2} = 90^{\circ} - \angle ACB = \angle HBN = \angle BHN.$

b. Do $DS$ đi qua $O$ nên $DS$ là đường kính của đường tròn $(O)$.

Suy ra $\angle SAF = 90^{\circ}$.

Ta thấy $SM$ vuông góc $BC$ tại $N$ nên $\angle SNF = 90^{\circ}$.

Khi đó ta chứng minh được tứ giác $ASNF$ nội tiếp.

Mà do $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AFN$ nên tứ giác $ASNF$ nội tiếp đường tròn ($I$) có đường kính là $SF$.

Do đó ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {OA = OS} \\ {IA = IS} \end{array}\Rightarrow OI \right.$ là đường trung trực của $AS$ nên $OI$ vuông góc $AS$.

c. Ta có $N$ là trung điểm của $BC$, suy ra $NQ = NH = NB = NC$.

Gọi $J$ là trung điểm $GH$ thì $NJ$ vuông góc với $GH$. Ta có:

$\begin{array}{l} {\dfrac{AH}{HN} = \dfrac{\text{sin}\angle ABH \cdot AB}{HN} = \text{sin}\left( \dfrac{\angle HNQ}{2} \right) \cdot \dfrac{AB}{HN} = \text{sin}\angle HNJ \cdot \dfrac{AB}{HN}} \\ {= \dfrac{JH \cdot AB}{HN^{2}} = \dfrac{HQ \cdot AB}{NQ \cdot BC}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)} \end{array}$

Ta có $\angle BMC = 180^{\circ} - \angle BOC = 180^{\circ} - 2\angle BAC = 180^{\circ} - 2\left( {90^{\circ} - \angle ACQ} \right) = \angle HNQ.$

Vì tam giác $HNQ$ cân tại $N$ và $BCM$ cân tại $M$ nên

$\begin{matrix} \left. \Delta QNH \sim \Delta BMC\Rightarrow\dfrac{HQ}{BC} = \dfrac{QN}{BM}\Rightarrow\dfrac{HQ}{QN \cdot BC} = \dfrac{1}{BM} \right. \end{matrix}$ $(2)$

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{AH}{HN} = \dfrac{AB}{BM}$

Ta có: $\angle AHN = \angle AHQ + \angle QHN = \angle ABC + \angle MBC = \angle ABM\left( {\Delta AQH \sim \Delta ACB} \right)$.

Từ (3) (4) suy ra $\Delta AHN \sim \Delta ABM$ (c.g.c)

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\angle NAH = \angle MAB(5)} \\ {\dfrac{AN}{AM} = \dfrac{AH}{AB}(*)} \end{array} \right. \right.$.

Từ (5) suy ra $\left. \Delta AHG \sim \Delta ABE\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{AG}{AE} = \dfrac{AH}{AB} \right.$ (**)

Từ (*) và (**) thì $\left. \dfrac{AG}{AE} = \dfrac{AN}{AM}\Rightarrow GE \parallel OM \right.$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link