a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2y^{2}

Câu hỏi số 856042:

Vận dụng

a) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + \left( {x - 1} \right)\left( {y + 1} \right) = 2y^{2} - 1} \\ {x^{2} + y^{2} - 10 = 0} \end{array} \right.$

b) Cho các số dương $\text{a},\text{b},\text{c}$ thoả mãn $abc\left( {a + b + c} \right) = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$S = \dfrac{a^{6}}{a^{4} + 3b^{4}} + \dfrac{b^{6}}{b^{4} + 3c^{4}} + \dfrac{c^{6}}{c^{4} + 3a^{4}}$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856042

Phương pháp giải

a) Từ (1) đưa về phương trình tích từ đó thay vào (2) giải phương trình bậc hai

b) Đánh giá bằng bất đẳng thức $AM - GM$ tìm GTNN

Giải chi tiết

a) Hệ phương trình đã cho trở thành: $\left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + xy - 2y^{2} + x - y = 0\,\,\,\,(1)} \\ {x^{2} + y^{2} = 10\,\,\,\,(2)} \end{array} \right.$

Biến đổi $\left. (1)\Rightarrow\left( {x - y} \right)\left( {x + 2y + 1} \right) = 0 \right.$

$\left. \Rightarrow x - y = 0 \right.$ hoặc $x + 2y + 1 = 0$

TH1: Với $\left. x - y = 0\Rightarrow x = y \right.$ thay vào (2) ta được $\left. 2x^{2} = 10\Rightarrow x = \pm \sqrt{5} \right.$

Khi đó, tương ứng: $y = \pm \sqrt{5}$

TH2: Với $\left. x + 2y + 1 = 0\Rightarrow x = - 1 - 2y \right.$ thay vào (2) ta được: $\left. {( - 1 - 2y)}^{2} + y^{2} = 10\Rightarrow 5y^{2} + 4y - 9 = 0 \right.$

Giải phương trình này ta được: $y = 1;y = \dfrac{- 9}{5}$

Với $\left. y = 1\Rightarrow x = - 1 - 2.1 = - 3 \right.$

Với $\left. y = \dfrac{- 9}{5}\Rightarrow x = - 1 - 2 \cdot \left( \dfrac{- 9}{5} \right) = \dfrac{13}{5} \right.$

Vậy hệ phương trình có bốn nghiệm là: $\left( {\sqrt{5};\sqrt{5}} \right),\left( {- \sqrt{5}; - \sqrt{5}} \right),\left( {- 3;1} \right),\left( {\dfrac{13}{5};\dfrac{- 9}{5}} \right)$

b) Với các số dương $\text{a},\text{b},\text{c}$ ta có: $\dfrac{a^{6}}{a^{4} + 3b^{4}} - a^{2} = \dfrac{- 3a^{2}b^{4}}{a^{4} + 3b^{4}}$ (1)

Theo bất đẳng thức $AM - GM$, ta có: $a^{4} + 3b^{4} \geq 4\sqrt[4]{a^{4} \cdot \left( b^{4} \right)^{3}} = 4ab^{3}$

$\begin{matrix} \left. \Rightarrow\dfrac{- 3a^{2}b^{4}}{a^{4} + 3b^{4}} \geq \dfrac{- 3a^{2}b^{4}}{4ab^{3}} = \dfrac{- 3}{4}ab \right. \end{matrix}$ (2)

Từ (1),(2) ta có: $\left. \dfrac{a^{6}}{a^{4} + 3b^{4}} - a^{2} \geq \dfrac{- 3}{4}ab\Rightarrow\dfrac{a^{6}}{a^{4} + 3b^{4}} \geq a^{2} - \dfrac{3}{4}ab \right.$

Chứng minh tương tự, ta có: $\dfrac{b^{6}}{b^{4} + 3c^{4}} \geq b^{2} - \dfrac{3}{4}bc$ (4) và $\dfrac{c^{6}}{c^{4} + 3a^{4}} \geq c^{2} - \dfrac{3}{4}ca$

Từ (3), (4), (5) ta có:

$S = \dfrac{a^{6}}{a^{4} + 3b^{4}} + \dfrac{b^{6}}{b^{4} + 3c^{4}} + \dfrac{c^{6}}{c^{4} + 3a^{4}} \geq \left( {a^{2} + b^{2} + c^{2}} \right) - \dfrac{3}{4}\left( {ab + bc + ac} \right)$

Mà ${(a - b)}^{2} + {(b - c)}^{2} + {(c - a)}^{2} \geq 0$

$\left. \Rightarrow a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq ab + bc + ca \right.$

cũng có ${(a + b + c)}^{2} \geq 3\left( {ab + bc + ca} \right)$

Do đó $\dfrac{a^{6}}{a^{4} + 3b^{4}} + \dfrac{b^{6}}{b^{4} + 3c^{4}} + \dfrac{c^{6}}{c^{4} + 3a^{4}} \geq \dfrac{1}{4}\left( {ab + bc + ac} \right)$ (*)

Từ giả thiết: $abc\left( {a + b + c} \right) = 1$

$\left. \Rightarrow 1 = ab \cdot bc + bc \cdot ca + ca \cdot ab \leq \dfrac{1}{3}{(ab + bc + ca)}^{2} \right.$

$\left. \Rightarrow ab + bc + ca \geq \sqrt{3} \right.$ (**)

Từ (*) và (**) ta được: $\dfrac{a^{6}}{a^{4} + 3b^{4}} + \dfrac{b^{6}}{b^{4} + 3c^{4}} + \dfrac{c^{6}}{c^{4} + 3a^{4}} \geq \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Vậy $\left. S \geq \dfrac{\sqrt{3}}{4}\Rightarrow \right.$ Min$S = \dfrac{\sqrt{3}}{4}$

Dấu “=” có khi $\left\{ \begin{array}{l} {abc\left( {a + b + c} \right) = 1} \\ {a = b = c} \end{array}\Rightarrow a = b = c = \dfrac{1}{\sqrt[4]{3}} \right.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link