Cho tam giác $ABC$ nhọn, có các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $\text{H};AH$ cắt $BC$ tại D. Gọi M

Câu hỏi số 856043:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ nhọn, có các đường cao $BE,CF$ cắt nhau tại $\text{H};AH$ cắt $BC$ tại D. Gọi M là trung điểm của $HC,\text{~N}$ là trung điểm của $AC,AM$ cắt $HN$ tại G . Đường thẳng qua M vuông góc với $HC$ và đường thẳng qua N vuông góc với $AC$ cắt nhau tại K .

a) Chứng minh tứ giác $AFDC$ nội tiếp;

b) Tính giá trị của biểu thức $\gamma = \dfrac{GA^{2} + 2GB^{2} + 3GH^{2}}{GM^{2} + 2GK^{2} + 3GN^{2}} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{GA \cdot GB \cdot GH}{GM \cdot GK \cdot GN}$;

c) Giả sử tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $\left( {O;R} \right),AO$ cắt $BC$ tại $P,BO$ cắt $AC$ tại $Q,CO$ cắt $AB$ tại T. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = AP + BQ + CT$ theo $R$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856043

Phương pháp giải

a) Từ các tam giác vuông suy ra các điểm cùng thuộc đường tròn đường kính AC

b) Chứng minh $MN//AH$ để suy ra tỉ số và tính chất trọng tâm từ đó tính $\gamma$

c) Sử dụng tỉ lệ diện tích các tam giác có chung đường cao chứng minh $\dfrac{1}{AP} + \dfrac{1}{QB} + \dfrac{1}{CT} = \dfrac{2}{R}$

Kết hợp sử dụng bất đẳng thức để đánh giá tìm GTNN

Giải chi tiết

a) Do $\Delta AFC$ vuông tại F nên F thuộc đường tròn đường kính $AC$

$\Delta ADC$ vuông tại D nên D thuộc đường tròn đường kính $AC$

Vậy A, F, D, C cùng thuộc đường tròn đường kính $AC$ hay tứ giác $AFDC$ nội tiếp.

b) Ta có: $MN//AH$ nên $\widehat{NMG} = \widehat{GAH}$ (so le trong)

$\widehat{GNM} = \widehat{GHA}$ (so le trong$MK//AB)$

$\left. \Rightarrow\widehat{NMK} = \widehat{BAH} \right.$

Chứng minh tương tự: $\widehat{NKM} = \widehat{ABH}$

Do đó $\Delta NKM \sim \Delta HBA\left( {g.g} \right)$ (*)

Theo hệ quả của định lí Tha-les, do $MN//AH$ nên $\dfrac{AG}{GM} = \dfrac{GH}{GN}$ (**)

Từ (*) và (**) ta suy ra: $\text{B},\text{G},\text{K}$ thẳng hàng và $\dfrac{AG}{GM} = \dfrac{GH}{GN} = \dfrac{BG}{GK}$

Mà G là trọng tâm của tam giác $AHC$ nên $\dfrac{AG}{GM} = \dfrac{GH}{GN} = 2$ do vậy $\dfrac{BG}{GK} = 2$

Theo tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

$\dfrac{GA^{2}}{GM^{2}} = \dfrac{3 \cdot GH^{2}}{3 \cdot GN^{2}} = \dfrac{2.BG^{2}}{2.GK^{2}} = \dfrac{GA^{2} + 2.BG^{2} + 3.GH^{2}}{GM^{2} + 2.GK^{2} + 3.GN^{2}}$

Do đó $\dfrac{GA^{2} + 2.BG^{2} + 3.GH^{2}}{GM^{2} + 2.GK^{2} + 3.GN^{2}} = 2^{2} = 4$

Thay vào biểu thức ta được:

$\gamma = \dfrac{GA^{2} + 2GB^{2} + 3GH^{2}}{GM^{2} + 2GK^{2} + 3GN^{2}} + \dfrac{3}{4} \cdot \dfrac{GA.GB.GH}{GM.GK.GN} = ~ = 4 + \dfrac{3}{4}.2.2.2 = 10$

Gọi S là diện tích của tam giác $ABC$. Ta có:

$\begin{array}{l} {S = S_{AOB} + S_{BOC} + S_{COA}\,\,\,\,(3)} \\ {S = S_{APB} + S_{ACP}\,\,\,\,(4)} \end{array}$

Do đó $\dfrac{OA}{AP} = \dfrac{S_{ABO}}{S_{APB}} = \dfrac{S_{ACO}}{S_{APC}}$ (5)

Chứng minh tương tự ta có $\dfrac{OB}{AP} = \dfrac{S_{ABO} + S_{BCO}}{S}$ (6) và $\dfrac{OC}{AP} = \dfrac{S_{ACO} + S_{BCO}}{S}$ (7)

Từ (5), (6), (7) ta có $\dfrac{OA}{AP} + \dfrac{OB}{QB} + \dfrac{OC}{CT} = \dfrac{S_{AOB} + S_{AOC}}{S} + \dfrac{S_{AOB} + S_{BOC}}{S} + \dfrac{S_{AOC} + S_{BOC}}{S}$

$~ = \dfrac{2\left( {S_{AOB} + S_{BOC} + S_{AOC}} \right)}{S} = \dfrac{2.S}{S} = 2$

Vậy $\dfrac{OA}{AP} + \dfrac{OB}{QB} + \dfrac{OC}{CT} = 2$ mà $OA = OB = OC = R$ (bán kính)

nên $\dfrac{1}{AP} + \dfrac{1}{QB} + \dfrac{1}{CT} = \dfrac{2}{R}$

Theo bất đẳng thức $AM - GM$, ta có:

$\left( {AP + BQ + CT} \right)\left( {\dfrac{1}{AP} + \dfrac{1}{QB} + \dfrac{1}{CT}} \right) \geq 9$ mà $\dfrac{1}{AP} + \dfrac{1}{QB} + \dfrac{1}{CT} = \dfrac{2}{R}$

nên $AP + BQ + CT \geq 9:\left( {\dfrac{1}{AP} + \dfrac{1}{QB} + \dfrac{1}{CT}} \right) = 9:\dfrac{2}{R} = \dfrac{9\text{R}}{2}$

Vậy $\left. AP + BQ + CT \geq \dfrac{9R}{2}\Rightarrow\text{Min}\left( {AP + BQ + CT} \right) = \dfrac{9R}{2} \right.$

Dấu bằng đạt được khi $AP = BQ = CT$ hay $\Delta ABC$ đều

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link