Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x\left( {x - y - 1} \right) + y\left( {y - 1}

Câu hỏi số 856044:

Vận dụng

Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình: $x\left( {x - y - 1} \right) + y\left( {y - 1} \right) = 3(I)$

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856044

Phương pháp giải

Phân tích $x^{2} - xy + y^{2} - \left( {x + y} \right) = 3$ thành nhân tử để đánh giá $0 < x + y \leq 6$

Chia các trường hợp $x + y \in \left\{ {1;2;3;4;5;6} \right\}$ từ đó tìm nghiệm $\left( {x;y} \right)$

Giải chi tiết

Phương trình đã cho trở thành $x^{2} - xy + y^{2} - \left( {x + y} \right) = 3$

$\left. \Rightarrow{(x + y)}^{2} - 3xy - \left( {x + y} \right) = 3 \right.$

Do $xy \leq \dfrac{1}{4}{(x + y)}^{2}$ nên $12 \geq 4{(x + y)}^{2} - 3{(x + y)}^{2} - 4\left( {x + y} \right)$

$\left. \Rightarrow{(x + y)}^{2} - 4\left( {x + y} \right) - 12 \leq 0 \right.$

hay $\left( {x + y - 6} \right)\left( {x + y + 2} \right) \leq 0$ do $\left. x > 0;y > 0;\Rightarrow 0 < x + y \leq 6 \right.$

Với $\text{x},\text{y}$ nguyên dương khi $0 < x + y \leq 6$ ta xét:

TH1: $\left. x + y = 2\Rightarrow x = y = 1 \right.$

Thay vào $(I)$ ta thấy không thoả mãn.

TH2: $\left. x + y = 3\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{l} {x = 2} \\ {y = 1} \end{array};\left\{ \begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = 2} \end{array} \right.} \right. \right.$

Thay vào $(I)$ ta thấy không thoả mãn.

TH3: $\left. x + y = 4\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = 1} \end{array};\left\{ {\begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = 3} \end{array};\left\{ \begin{array}{l} {x = 2} \\ {y = 2} \end{array} \right.} \right.} \right. \right.$

Thay vào $(I)$ ta thấy các cặp ( $3;1$ ),( $1;3$ ) thoả mãn.

TH4: $\left. x + y = 5\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = 2} \end{array};\left\{ {\begin{array}{l} {x = 2} \\ {y = 3} \end{array};\left\{ {\begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = 1} \end{array};\left\{ \begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = 4} \end{array} \right.} \right.} \right.} \right. \right.$

Thay vào $(I)$ ta thấy tất cả các cặp đều không thoả mãn.

TH5: $\left. x + y = 6\Rightarrow\left\{ {\begin{array}{l} {x = 3} \\ {y = 3} \end{array};\left\{ {\begin{array}{l} {x = 1} \\ {y = 5} \end{array};\left\{ {\begin{array}{l} {x = 5} \\ {y = 1} \end{array};\left\{ {\begin{array}{l} {x = 2} \\ {y = 4} \end{array};\left\{ \begin{array}{l} {x = 4} \\ {y = 2} \end{array} \right.} \right.} \right.} \right.} \right. \right.$

Thay vào $(I)$ ta thấy chỉ cặp (3;3) thoả mãn.

Tóm lại phương trình có 3 nghiệm dương: $\left( {3;1} \right),\left( {1;3} \right),\left( {3;3} \right)$

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link