Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} - 3x}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$. Những phương án nào dưới đây

Câu hỏi số 856172:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{x^{2} - 3x}{x + 1}$ có đồ thị là $(C)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Tiệm cận xiên của $(C)$ là đường thẳng có phương trình $y = x - 4$.

B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$ bằng $- 1$.

C. Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số bằng $4\sqrt{5}$.

D. Tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc $(C)$ đến các đường tiệm cận của $(C)$ không đổi.

Đáp án đúng là: A; C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856172

Phương pháp giải

1. Đồ thị hàm số $y = \dfrac{mx^{2} + nx}{px + q}$ có tiệm cận xiên là $y = ax + b$ với $a = \dfrac{m}{p}$ và $b = \dfrac{np - mq}{p^{2}}$

2. TXĐ: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- 1} \right\}$ mà $- 1 \in \left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$ nên không thể tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$.

3. Tìm hai điểm cực trị rồi áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm.

4. Xác định hai tiệm cận của đồ thị hàm số. Lấy 2 điểm bất kì (có tọa độ lẻ) rồi tính tích khoảng cách từ mỗi điểm đến hai tiệm cận và so sánh.

Giải chi tiết

1. Đúng

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{x^{2} - 3x}{x + 1}$ có tiệm cận xiên là $y = ax + b$ với $a = \dfrac{1}{1} = 1$ và $b = \dfrac{- 3.1 - 1.1}{1^{2}} = - 4$

Vậy tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là $y = x - 4$

2. Sai

TXĐ: $D = {\mathbb{R}}\backslash\left\{ {- 1} \right\}$ mà $- 1 \in \left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$.

Do đó không thể tồn tại giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left\lbrack {- 2;3} \right\rbrack$.

3. Đúng

Ta có: $y' = \dfrac{x^{2} + 2x - 3}{\left( {x + 1} \right)^{2}}$

$\left. y' = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} \left. x = 1\Rightarrow y = 1 \right. \\ \left. x = - 3\Rightarrow y = - 9 \right. \end{array} \right. \right.$

$(C)$ có hai điểm cực trị là: $\left( {1; - 1} \right)$ và $\left( {- 3; - 9} \right)$

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số là: $\sqrt{4^{2} + 8^{2}} = 4\sqrt{5}$

4. Đúng

Đồ thị hàm số có hai tiệm cận:

+ Tiệm cận xiên $y = x - 4$ hay $x - y - 4 = 0$

+ Tiệm cận đứng $x + 1 = 0$

Lấy $A\left( {1,2;\dfrac{- 54}{55}} \right);B\left( {2,6; - \dfrac{13}{45}} \right) \in (C)$

$d\left( {A,TCX} \right).d\left( {A,TCD} \right) = \dfrac{\left| {1,2 + \dfrac{54}{55} - 4} \right|}{\sqrt{1 + 1}}.\left| {1,2 + 1} \right| = 2\sqrt{2}$

$d\left( {B,TCX} \right).d\left( {B,TCD} \right) = \dfrac{\left| {2,6 + \dfrac{13}{45} - 4} \right|}{\sqrt{1 + 1}}.\left| {2,6 + 1} \right| = 2\sqrt{2}$

Vậy tích khoảng cách từ một điểm tùy ý thuộc $(C)$ đến các đường tiệm cận của $(C)$ không đổi.

Đáp án cần chọn là: A; C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.