Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 3 = 0$ và các điểm $A\left(

Câu hỏi số 856173:

Vận dụng

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $(P):2x + 2y - z + 3 = 0$ và các điểm $A\left( {1;2;3} \right)$ $B\left( {0; - 1;2} \right)$, $C\left( {1;3; - 2} \right)$. Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Điểm $B$ cách mặt phẳng $(P)$ một khoảng bằng 3.

B. Đường thẳng đi qua điểm $A$ và vuông góc với mặt phẳng $(P)$ có phương trình tham số là $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 2t} \\ {y = 2 + 2t} \\ {z = 3 - t} \end{array} \right.$.

C. Gọi $H\left( {a;b;c} \right)$ là hình chiếu vuông góc của điểm $C$ trên mặt phẳng $(P)$. Khi đó $a - b + 9c = - 6$.

D. Gọi $I\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right)$ là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm $A,B,C$. Biết $I \in (P)$, khi đó $2x_{0} + 3y_{0} - 6z_{0} = - 3$.

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856173

Phương pháp giải

1. Áp dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

2. Viết phương trình mặt phẳng đi qua điểm $A$ và nhận vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ làm vectơ chỉ phương.

3. Viết phương trình đường thẳng $d$ đi qua C và vuông góc với mặt phẳng $(P)$, từ đó tìm tọa độ$H = d \cap (P)$ rồi tính $a - b + 9c$.

4. Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {IA^{2} = IB^{2}} \\ {IA^{2} = IC^{2}} \\ {I \in (P)} \end{array} \right.$ để tìm I, từ đó tính $x_{0} + 2y_{0} - 3z_{0}$.

Giải chi tiết

1. Sai

Ta có: $d\left( {B,(P)} \right) = \dfrac{\left| {2.0 + 2.\left( {- 1} \right) - 2 + 3} \right|}{\sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1}} = \dfrac{1}{3}$

2. Đúng

Gọi đường thẳng cần tìm là $\Delta$

Vì $\Delta\bot(P)$ nên ${\overset{\rightarrow}{u}}_{\Delta} = {\overset{\rightarrow}{n}}_{(P)} = \left( {2;2; - 1} \right)$

Phương trình đường thẳng $\Delta$ là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + 2t} \\ {y = 2 + 2t} \\ {z = 3 - t} \end{array} \right.$

3. Sai

Gọi $d$ là đường thẳng đi qua C và vuông góc với mặt phẳng $(P)$

Suy ra $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z + 2}{- 1}$

Ta có:$H = d \cap (P)$

Xét hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l} {d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y - 3}{2} = \dfrac{z + 2}{- 1}} \\ {(P):2x + 2y - z + 3 = 0} \end{array} \right.$$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x - 1 = y - 3} \\ {- y - 3 = 2z + 4} \\ {2x + 2y - x + 3 = 0} \end{array} \right. \right.$

$\left. \Rightarrow H\left( {- \dfrac{17}{9};\dfrac{1}{9}; - \dfrac{5}{9}} \right) \right.$

$\left. \Rightarrow a - b + 9c = \dfrac{- 17}{9} - \dfrac{1}{9} + 9.\dfrac{- 5}{9} = - 7 \right.$

4. Đúng

$I\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right)$ là tâm của mặt cầu đi qua ba điểm $A,B,C$ nên $IA = IB = IC$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {IA^{2} = IB^{2}} \\ {IA^{2} = IC^{2}} \end{array} \right. \right.$$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {\left( {x_{0} - 1} \right)^{2} + \left( {y_{0} - 2} \right)^{2} + \left( {z_{0} - 3} \right)^{2} = x_{0}^{2} + \left( {y_{0} + 1} \right)^{2} + \left( {z_{0} - 2} \right)^{2}} \\ {\left( {x_{0} - 1} \right)^{2} + \left( {y_{0} - 2} \right)^{2} + \left( {z_{0} - 3} \right)^{2} = \left( {x_{0} - 1} \right)^{2} + \left( {y_{0} - 3} \right)^{2} + \left( {z_{0} + 2} \right)^{2}} \end{array} \right. \right.$

Mà $I \in (P)$ nên $2x_{0} + 2y_{0} - z_{0} = - 3$

$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {- 2x_{0} - 6y_{0} - 2z_{0} = - 9} \\ {2y_{0} - 10z_{0} = 0} \\ {2x_{0} + 2y_{0} - z_{0} = - 3} \end{array} \right. \right.$$\left. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {x_{0} = - \dfrac{177}{46}} \\ {y_{0} = \dfrac{60}{23}} \\ {z_{0} = \dfrac{12}{23}} \end{array} \right. \right.$$\left. \Rightarrow x_{0} + 2y_{0} - 3z_{0} = - 3 \right.$

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.