a) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + 12} + 5 = 3x + \sqrt{x^{2} + 5}$.b) Giải hệ phương trình $\left\{

Câu hỏi số 856479:

Vận dụng

a) Giải phương trình $\sqrt{x^{2} + 12} + 5 = 3x + \sqrt{x^{2} + 5}$.

b) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {2x = \dfrac{x^{2} + 1}{y^{2}}} \\ {2y = \dfrac{y^{2} + 1}{x^{2}}} \end{array} \right.$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856479

Phương pháp giải

a) Tìm ĐKXD và nhân liên hợp tìm 1 nghiệm $x = 2$. Phương trình còn lại chứng minh vô nghiệm

b) Trừ 2 vế của 2 phương trình để phân tích đa thức thành nhân tử

Chia 2 trường hợp và tìm x, y

Giải chi tiết

a) $\left. \text{PT}\Leftrightarrow\sqrt{x^{2} + 12} - \sqrt{x^{2} + 5} = 3x - 5 \right.$

Ta có: $\left. \sqrt{x^{2} + 12} - \sqrt{x^{2} + 5} > 0\Rightarrow 3x - 5 > 0\Leftrightarrow x > \dfrac{5}{3} \right.$

$\left. PT\Leftrightarrow\sqrt{x^{2} + 12} - 4 + 3 - \sqrt{x^{2} + 5} = 3x - 6 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{x^{2} - 4}{\sqrt{x^{2} + 12} + 4} + \dfrac{4 - x^{2}}{3 + \sqrt{x^{2} + 5}} - 3\left( {x - 2} \right) = 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left( {x - 2} \right)\left( {\dfrac{x + 2}{\sqrt{x^{2} + 12} + 4} - \dfrac{x + 2}{3 + \sqrt{x^{2} + 5}} - 3} \right) = 0 \right.$

Tacó $\left. :4 + \sqrt{x^{2} + 12} > 3 + \sqrt{x^{2} + 5}\Leftrightarrow\dfrac{1}{4 + \sqrt{x^{2} + 12}} < \dfrac{1}{3 + \sqrt{x^{2} + 5}} \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{x + 2}{4 + \sqrt{x^{2} + 12}} < \dfrac{x + 2}{3 + \sqrt{x^{2} + 5}} \right.$ (vì $x > \dfrac{5}{3}$)

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{x + 2}{4 + \sqrt{x^{2} + 12}} - \dfrac{x + 2}{3 + \sqrt{x^{2} + 5}} < 0 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{x + 2}{4 + \sqrt{x^{2} + 12}} - \dfrac{x + 2}{3 + \sqrt{x^{2} + 5}} - 3 < 0 \right.$

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm $x = 2$

b) Điều kiện: $x,y \neq 0$.

Hệ PT $\left. \Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {2xy^{2} = x^{2} + 1} \\ {2x^{2}y = y^{2} + 1} \end{array} \right. \right.$

Trừ vế với vế ta có: $\left. \left( {x - y} \right)\left( {2xy + x + y} \right) = 0\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = y} \\ {2xy + x + y = 0} \end{array} \right. \right.$

TH1: $2xy + x + y = 0$ vô nghiệm vì $\left\{ \begin{array}{l} {2x = \dfrac{x^{2} + 1}{y^{2}} > 0} \\ {2y = \dfrac{y^{2} + 1}{x^{2}} > 0} \end{array} \right.$

$\left. \Rightarrow x > 0,y > 0\Rightarrow 2xy + x + y > 0 \right.$

TH2: $x = y$, thế vào một phương trình trong hệ, ta có:

$\left. 2x^{3} - x^{2} - 1 = 0\Leftrightarrow\left( {x - 1} \right)\left( {2x^{2} + x + 1} \right) = 0\Leftrightarrow x = 1 \right.$

Vậy hệ có duy nhất một nghiệm là: $\left( {1;1} \right)$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link