1) Rút gọn biểu thức $P = \left( {\dfrac{x + 5}{x + \sqrt{x} - 2} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}}

Câu hỏi số 858209:

Vận dụng

1) Rút gọn biểu thức $P = \left( {\dfrac{x + 5}{x + \sqrt{x} - 2} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}$ (với $x \geq 0,x \neq 1$ ).

2) Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^{2} - 2x + 3m + 1 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 20$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858209

Phương pháp giải

1) Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung.

Quy đồng mẫu thức các phân thức trong ngoặc.

Thực hiện phép trừ và phép chia phân thức đại số.

Rút gọn biểu thức về dạng tối giản.

2) Tính $\Delta'$ và tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt ($\Delta' > 0$).

Áp dụng định lý Vi-ét để tính tổng $S = x_{1} + x_{2}$ và tích $P = x_{1}x_{2}$ theo tham số $m$.

Biến đổi biểu thức điều kiện bài toán $x_{1}^{3} + x_{2}^{3}$ về theo S và P bằng hằng đẳng thức: $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = {(x_{1} + x_{2})}^{3} - 3x_{1}x_{2}(x_{1} + x_{2})$.Giải phương trình ẩn $m$ và đối chiếu điều kiện.

Giải chi tiết

1) Ta có

$\begin{array}{l} {P~ = \left( {\dfrac{x + 5}{x + \sqrt{x} - 2} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \right):\dfrac{1}{\sqrt{x} + 2}} \\ {~ = \left\lbrack {\dfrac{x + 5}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} - \dfrac{2}{\sqrt{x} - 1}} \right\rbrack \cdot \left( {\sqrt{x} + 2} \right)} \\ {~ = \dfrac{x + 5 - 2\left( {\sqrt{x} + 2} \right)}{\left( {\sqrt{x} - 1} \right)\left( {\sqrt{x} + 2} \right)} \cdot \left( {\sqrt{x} + 2} \right)} \\ {~ = \dfrac{x - 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x} - 1}} \\ {~ = \dfrac{{(\sqrt{x} - 1)}^{2}}{\sqrt{x} - 1}} \\ {~ = \sqrt{x} - 1.} \end{array}$

2) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi $= 1 - 3m - 1 = - 3m > 0$ hay $m < 0$.

Theo định lý Viete, ta có $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2} \\ {x_{1}x_{2} = 3m + 1} \end{array} \right.$

Khi đó $x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = \left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{3} - 3x_{1}x_{2}\left( {x_{1} + x_{2}} \right) = 2^{3} - 3 \cdot \left( {3m + 1} \right) \cdot 2 = 8 - 18m - 6 = 2 - 18m.$

Vì vậy

$\begin{array}{l} {x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 20} \\ {2 - 18m = 20} \\ {m = - 1\left( {TM} \right)} \end{array}$

Vậy $m = - 1$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link