Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $(N)$ và khối trụ $(T)$ biết rằng

Câu hỏi số 856618:

Vận dụng

Tìm thể tích phần giao nhau của khối nón $(N)$ và khối trụ $(T)$ biết rằng chúng có cùng chiều cao 4dm, hai đường tròn đáy đồng phẳng và có bán kính cùng bằng 2dm, đồng thời trục của hình nón là một đường sinh của hình trụ (tham khảo hình vẽ). Kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:856618

Phương pháp giải

Lập hệ trục tọa độ $O x y z$, xác định bán kính thiết diện của khối nón và khối trụ tại cao độ z.

Tính diện tích phần giao nhau $S(z)$ của hai thiết diện $\left(C_1\right)$ và $\left(C_2\right)$ tại cao độ $z$. Đây là diện tích phần chung của hai hình tròn.

Tính thể tích $V=\int_a^b S(z) d z$, với $a, b$ là giới hạn của vật thể theo trục $Oz$.

Giải chi tiết

Chọn hệ trục $Oxyz$ với $O$ là tâm của hình nón $(N)$, điểm $S\left( {0;0;4} \right)$ là đỉnh của $(N)$

Mặt phẳng $\left( {Oxy} \right)$ chứa hai đáy của hình nón $(N)$ và hình trụ $(T)$, điểm $I\left( {2;0;0} \right)$ là tâm của đường tròn đáy của $(T)$

Xét mặt phẳng $(P)$ vuông góc với trục $Oz$ và cắt nó tại điểm có cao độ $z\,\,\left( {z \in \left\lbrack {0;4} \right\rbrack} \right)$

Gọi $\left( C_{1} \right)$ là thiết diện của $(P)$ và $(N)$. Bán kính của $\left( C_{1} \right)$ là $r(z)$

Ta có: $\left. \dfrac{r(z)}{2} = \dfrac{4 - z}{4}\Rightarrow r(z) = \dfrac{4 - z}{2} \right.$

Gọi $\left( C_{2} \right)$ là thiết diện của $(P)$ và $(T)$. Bán kính của $\left( C_{2} \right)$ là 2

Ta cần tính diện tích phần giao nhau của $\left( C_{1} \right)$ và $\left( C_{2} \right)$, gọi là $S(z)$

Giao điểm của hai đường tròn này thỏa mãn hệ $\left. \left\{ \begin{array}{l} {x^{2} + y^{2} = r^{2}(z)} \\ {\left( {x - 2} \right)^{2} + y^{2} = 4} \end{array} \right.\Rightarrow x = \dfrac{r^{2}(z)}{4} \right.$

Đặt $r_{0} = \dfrac{r^{2}(z)}{4}$

Hình ảnh của $\left( C_{1} \right)$ và $\left( C_{2} \right)$ trên mặt phẳng như sau:

Gọi $S_{1}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x = r_{0}$ và $\left( C_{1} \right)$

Gọi $\left. \alpha = \angle DOH\Rightarrow r_{0} = OD.\cos\alpha \right.$

$\left. \Rightarrow\alpha = \cos^{- 1}\dfrac{r_{0}}{r(z)} = \cos^{- 1}\dfrac{r(z)}{4} \right.$

Khi đó:

$\begin{array}{l} {S_{1} = \dfrac{1}{2}r^{2}(z).\left( {2\alpha} \right) - \dfrac{1}{2}r^{2}(z).\left( {\sin\left( {2\alpha} \right)} \right)} \\ {= \dfrac{1}{2}r^{2}(z)\left( {2\alpha - \sin\left( {2\alpha} \right)} \right)} \\ {= \dfrac{1}{2}r^{2}(z)\left( {2\cos^{- 1}\dfrac{r(z)}{4} - \left( {\sin\left( {2\cos^{- 1}\dfrac{r(z)}{4}} \right)} \right)} \right)} \end{array}$

Gọi $S_{2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng $x = r_{0}$ và $\left( C_{2} \right)$

Gọi $\left. \beta = \angle DIH\Rightarrow 2 - r_{0} = ID.\cos\beta \right.$

$\left. \Rightarrow\cos\beta = \dfrac{2 - r_{0}}{2} = \dfrac{8 - r^{2}(z)}{8}\Rightarrow\beta = \cos^{- 1}\dfrac{8 - r^{2}(z)}{8} \right.$

Khi đó:

$\begin{array}{l} {S_{2} = \dfrac{1}{2}.2^{2}.\left( {2\beta} \right) - \dfrac{1}{2}.2^{2}.\left( {\sin 2\beta} \right) = 4\beta - 2\sin\left( {2\beta} \right)} \\ {= 4\cos^{- 1}\dfrac{8 - r^{2}(z)}{8} - 2\sin\left( {2.\cos^{- 1}\dfrac{8 - r^{2}(z)}{8}} \right)} \end{array}$

Vậy ta có

$\begin{array}{l} {S(z) = S_{1} + S_{2}} \\ {= \dfrac{1}{2}r^{2}(z)\left( {2\cos^{- 1}\dfrac{r(z)}{4} - \left( {\sin\left( {2\cos^{- 1}\dfrac{r(z)}{4}} \right)} \right)} \right) + 4\cos^{- 1}\dfrac{8 - r^{2}(z)}{8} - 2\sin\left( {2.\cos^{- 1}\dfrac{8 - r^{2}(z)}{8}} \right)} \end{array}$

Vậy thể tích phần chung của khối đã cho là $V = {\int\limits_{0}^{4}{S(z)dz}} \approx 7,02$

Đáp án cần điền là: 7,02

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.