1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {xy + y^{2} - 2x - 2y = 0} \\ {x^{2} + 2xy - 3 = \sqrt{x + y +

Câu hỏi số 858210:

Vận dụng

1) Giải hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l} {xy + y^{2} - 2x - 2y = 0} \\ {x^{2} + 2xy - 3 = \sqrt{x + y + 1}} \end{array} \right.$.

2) Cho $P(x)$ là đa thức bậc ba thỏa mãn $\left( {x + 2} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)P\left( {x + 2} \right)$, với mọi số thực $x$ và $P(3) = 6$. Chứng tỏ $P(2) = 0$ và xác định đa thức $P(x)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858210

Phương pháp giải

Ở ý 1), học sinh cần phát hiện được việc phân tích thành nhân tử ở vế trái của phương trình đầu tiên. Từ đó có thể tìm được $x = - y$ và $y = 2$. Trường hợp $y = 2$ khó nhất, nhân lượng liên hợp là một hướng xử lí phù hợp, tuy nhiên học sinh sẽ gặp khó khăn khi giải quyết phương trình $x + 5 - \dfrac{1}{2 + \sqrt{x + 3}} = 0$

Mấu chốt để xử lí đó chính là sử dụng điều kiện $x \geq - 3$ để chứng tỏ vế trái lớn hơn 0 , dẫn đến phương trình vô nghiệm.

Ở ý 2), đây là một câu có thể nhiều học sinh sẽ bỏ qua nếu chưa có cơ hội tiếp xúc nhiều về đa thức. Mấu chốt của bài toán là thay những giá trị $x$ phù hợp để có thể tìm ra nghiệm của $P(x)$. Việc tìm ra nghiệm $x = 2$ và $x = 0$ khá đơn giản vì đã được gợi ý từ việc chứng minh $P(2) = 0$. Tuy nhiên để tìm được nghiệm còn lại là $x = 1$ thì không dễ với nhiều học sinh, điều này thu được thông qua $P(0) = 0$, vì vậy chỉ cần chọn $x$ phù hợp để một vế xuất hiện $P(0)$. Khi đã có đủ 3 nghiệm và giả thiết $P(3) = 6$, học sinh có thể sử dụng định lý Bezout để xác định dạng của $P(x)$ (xem (3)) hoặc có thể giải một hệ 4 ẩn gồm 4 phương trình, rõ ràng cách sử dụng định lý Bezout đơn giản và thể hiện rõ các tính chất về nghiệm của đa thức.

Giải chi tiết

1) Biến đổi phương trình đầu, ta được

$\begin{array}{l} {y\left( {x + y} \right) - 2\left( {x + y} \right) = 0} \\ {\left( {x + y} \right)\left( {y - 2} \right) = 0} \end{array}$

$x = - y$ hoặc $y = 2$

TH1: Nếu $x = - y$, thay vào phương trình thứ hai, ta được

$- y^{2} - 3 = 1$ hay $y^{2} + 4 = 0$

Phương trình trên vô nghiệm vì $y^{2} + 4 > 0$ với mọi $y$.

TH2: Nếu $y = 2$, thay vào phương trình thứ hai, ta được

$\begin{array}{l} {x^{2} + 4x - 3 = ~ = \sqrt{x + 3}} \\ {x^{2} + 4x - 5 + 2 - \sqrt{x + 3} = 0} \\ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) + \dfrac{4 - \left( {x + 3} \right)}{2 + \sqrt{x + 3}} = 0} \\ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5} \right) - \dfrac{x - 1}{2 + \sqrt{x + 3}} = 0} \\ {\left( {x - 1} \right)\left( {x + 5 - \dfrac{1}{2 + \sqrt{x + 3}}} \right) = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)} \end{array}$

Từ điều kiện $x \geq - 3$, ta suy ra $x + 5 - \dfrac{1}{2 + \sqrt{x + 3}} \geq - 3 + 5 - \dfrac{1}{2} = \dfrac{3}{2} > 0$

Vì vậy, từ (1), ta thu được $x = 1$.

Thử lại ta thấy $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$ thỏa mãn hệ phương trình ban đầu.

Vậy hệ phương trình có duy nhất nghiệm $\left( {x;y} \right) = \left( {1;2} \right)$.

2) Thay $x = 1$ vào $\begin{matrix} {\left( {x + 2} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left( {x - 1} \right)P\left( {x + 2} \right),\#(2)} \end{matrix}$

ta được $3P(2) = 0 \cdot P(3) = 0$, kéo theo $P(2) = 0$.

Thay $x = - 2$ vào (2), ta được $0 \cdot P\left( {- 1} \right) = - 3 \cdot P(0)$ dẫn đến $P(0) = 0$.

Thay $x = - 1$ vào (2), ta được $P(0) = - 2 \cdot P(1)$

Hơn nữa $P(0) = 0$ nên $P(1) = 0$.

Như vậy $P(x)$ có 3 nghiệm $x \in \left\{ {0;1;2} \right\}$, mà $P(x)$ là đa thức bậc ba nên $P(x)$ có dạng

$\begin{matrix} {P(x) = ax\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right),~a \neq 0\#(3)} \end{matrix}$

Thay $x = 3$ vào (3) và kết hợp với $P(3) = 6$, ta được $6 = 6a$ hay $a = 1$.

Thử lại và ta nhận $P(x) = x\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right) = x^{3} - 3x^{2} + 2x.$

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link