Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu

Câu hỏi số 858245:

Vận dụng

Cho một nhóm 15 học sinh có chiều cao khác nhau gồm 5 học sinh nữ có chiều cao tăng dần ký hiệu lần lượt là $G_{1},G_{2},G_{3},G_{4},G_{5}$ và 10 học sinh nam. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 15 học sinh đó thành một hàng ngang sao cho nếu tính từ trái sang phải thì các học sinh nữ có chiều cao tăng dần, các học sinh nam cũng có chiều cao tăng dần; giữa học sinh $G_{1}$ và $G_{2}$ có ít nhất 2 học sinh nam, giữa học sinh $G_{4}$ và $G_{5}$ có ít nhất 1 học sinh nam và nhiều nhất 4 học sinh nam?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858245

Phương pháp giải

Áp dụng phương pháp vách ngăn.

Giải chi tiết

Gọi $x_{1}$ là số học sinh nam được xếp bên trái $G_{1}$, $x_{2}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{1}$ và $G_{2}$, $x_{3}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{2}$ và $G_{3}$, $x_{4}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{3}$ và $G_{4}$,$x_{5}$ là số học sinh nam được xếp giữa $G_{4}$ và $G_{5}$, $x_{6}$ là số học sinh nam được xếp bên phải $G_{5}$.

Khi đó bộ số $(x_{1};x_{2};x_{3};x_{4};x_{5};x_{6})$ hoàn toàn xác định vị trí của các học sinh nữ và ta có:

$\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} + x_{5} + x_{6} = 10} \\ {x_{1},x_{3},x_{4},x_{6} \geq 0;x_{2} \geq 2;1 \leq x_{5} \leq 4} \end{array} \right.$

Đặt $y_{1} = x_{1} + 1,y_{2} = x_{2} - 1;y_{3} = x_{3} + 1,y_{4} = x_{4} + 1,y_{6} = x_{6} + 1$.

Khi đó số cách xếp thỏa mãn yêu cầu là số nghiệm nguyên dương ($y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6}$) của phương trình $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{6} = 13 - x_{5}$, với $1 \leq x_{5} \leq 4$.

+) Xét $x_{5} = 1$, ta có $y_{1} + y_{2} + y_{3} + y_{4} + y_{6} = 12$. Ta xét dãy gồm 12 chữ số 1 như sau:

$1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1 - 1$.

Giữa hai số 1 bất kỳ có một khoảng trống. Ta chỉ cần chọn 4 vị trí khoảng trống để ngăn cách sẽ tạo thành 5 đoạn ứng với bộ $(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4},y_{6})$. Vậy số nghiệm trong trường hợp này là $C_{11}^{4}$.

+) Xét $x_{5} = 2$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{10}^{4}$.

+) Xét $x_{5} = 3$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{9}^{4}$.

+) Xét $x_{5} = 4$, lập luận tương tự ta có số nghiệm là $C_{8}^{4}$.

Suy ra số cách xếp là $C_{11}^{4} + C_{10}^{4} + C_{9}^{4} + C_{8}^{4} = 736$.

Đáp án cần điền là: 736

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.