a) Cho biểu thức $p = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} +

Câu hỏi số 858666:

Vận dụng

a) Cho biểu thức $p = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - x\sqrt{x}}$, với $x > 0,x \neq 1$.

Rút gọn biểu thức $P$. Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ để biểu thức $B = \dfrac{9}{P}$ nhận giá trị nguyên?

b) Cho $a$ và $b$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: $2a^{2} + 6a + 3 = 0;3b^{2} + 6b + 2 = 0;\ ab \neq 1.$

Không tính các giá trị của $a$ và $b$, hãy tính giá trị của biếu thức $P = \dfrac{6075b^{3}}{20ab^{2} + {(ab + 1)}^{3}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858666

Phương pháp giải

a) Rút gọn P. Đánh giá $0 < B = \dfrac{9}{P} \leq \dfrac{9}{4}$ bằng bất đẳng thức Cauchy từ đó tìm x

b) Chứng minh $\dfrac{1}{b}$ là nghiệm của phương trình $2x^{2} + 6x + 3 = 0$ từ đó tìm a, b và tính P.

Giải chi tiết

a) Với $x > 0,x \neq 1$,ta có

$\begin{array}{l} {P = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - x\sqrt{x}}} \\ {P = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - x\sqrt{x}}} \\ {P = \dfrac{(2x + 2 + \sqrt{x})(1 - x) + x^{2} - x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(1 - x)}} \\ {P = \dfrac{- x^{2} - 2x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(1 - x)}} \\ {P = \dfrac{- (\sqrt{x} - 1){(\sqrt{x} + 1)}^{3}}{\sqrt{x}(1 - x)}} \\ {P = \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}} \end{array}$

Ta có $\dfrac{9}{P} = \dfrac{9\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \dfrac{9}{\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + 2}$

Vì $\left. \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}} = 2\Rightarrow\dfrac{9}{P} \leq \dfrac{9}{4} \right.$

Khi đó $0 < \dfrac{9}{P} \leq \dfrac{9}{4}$.

Do $\dfrac{9}{P}$ nguyên.

TH1: $\left. \dfrac{9}{P} = 1\Rightarrow P = 9\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sqrt{x} = \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{2}} \\ {\sqrt{x} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{47 + 21\sqrt{5}}{2}} \\ {x = \dfrac{47 - 21\sqrt{5}}{2}} \end{array} \right. \right. \right.$ (thỏa mãn)

TH2: $\left. \dfrac{9}{P} = 2\Rightarrow P = \dfrac{9}{2}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sqrt{x} = 2} \\ {\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 4} \\ {x = \dfrac{1}{4}} \end{array} \right. \right. \right.$ (thỏa mãn)

Vậy tập các giá trị của $x$ thỏa mãn là $\left\{ {\dfrac{47 + 21\sqrt{5}}{2};\dfrac{47 - 21\sqrt{5}}{2};4;\dfrac{1}{4}} \right\}$.

b) Ta có $\left. 3b^{2} + 6b + 2 = 0\Leftrightarrow\dfrac{2}{b^{2}} + \dfrac{6}{b} + 3 = 0\Rightarrow\dfrac{1}{b} \right.$ là nghiệm của phương trình $2x^{2} + 6x + 3 = 0$

Mà $a$ cũng là nghiệm của phương trình $2x^{2} + 6x + 3 = 0$,

nên theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{1}{b} + a = - 3} \\ {\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {ab + 1 = - 3b} \\ {a = \dfrac{3b}{2}} \end{array} \right. \right.$

Thay vào $P$ ta được: $P = \dfrac{6075b^{3}}{20ab^{2} + {(ab + 1)}^{3}} = \dfrac{6075b^{3}}{20 \cdot \dfrac{3b}{2} \cdot b^{2} + {( - 3b)}^{3}} = 2025$

Vậy $P = 2025$.

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link