a) Cho biểu thức $p = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} +

Câu hỏi số 858666:

Vận dụng

a) Cho biểu thức $p = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - x\sqrt{x}}$, với $x > 0,x \neq 1$.

Rút gọn biểu thức $P$. Tìm tất cả các giá trị thực của $x$ để biểu thức $B = \dfrac{9}{P}$ nhận giá trị nguyên?

b) Cho $a$ và $b$ là các số thực thỏa mãn các điều kiện sau: $2a^{2} + 6a + 3 = 0;3b^{2} + 6b + 2 = 0;\ ab \neq 1.$

Không tính các giá trị của $a$ và $b$, hãy tính giá trị của biếu thức $P = \dfrac{6075b^{3}}{20ab^{2} + {(ab + 1)}^{3}}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858666

Phương pháp giải

a) Rút gọn P. Đánh giá $0 < B = \dfrac{9}{P} \leq \dfrac{9}{4}$ bằng bất đẳng thức Cauchy từ đó tìm x

b) Chứng minh $\dfrac{1}{b}$ là nghiệm của phương trình $2x^{2} + 6x + 3 = 0$ từ đó tìm a, b và tính P.

Giải chi tiết

a) Với $x > 0,x \neq 1$,ta có

$\begin{array}{l} {P = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x\sqrt{x} - 1}{x - \sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - x\sqrt{x}}} \\ {P = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x + \sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}} + \dfrac{x^{2} - x\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - x\sqrt{x}}} \\ {P = \dfrac{(2x + 2 + \sqrt{x})(1 - x) + x^{2} - x\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}(1 - x)}} \\ {P = \dfrac{- x^{2} - 2x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}(1 - x)}} \\ {P = \dfrac{- (\sqrt{x} - 1){(\sqrt{x} + 1)}^{3}}{\sqrt{x}(1 - x)}} \\ {P = \dfrac{x + 2\sqrt{x} + 1}{\sqrt{x}}} \end{array}$

Ta có $\dfrac{9}{P} = \dfrac{9\sqrt{x}}{x + 2\sqrt{x} + 1} = \dfrac{9}{\sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} + 2}$

Vì $\left. \sqrt{x} + \dfrac{1}{\sqrt{x}} \geq 2\sqrt{\sqrt{x}.\dfrac{1}{\sqrt{x}}} = 2\Rightarrow\dfrac{9}{P} \leq \dfrac{9}{4} \right.$

Khi đó $0 < \dfrac{9}{P} \leq \dfrac{9}{4}$.

Do $\dfrac{9}{P}$ nguyên.

TH1: $\left. \dfrac{9}{P} = 1\Rightarrow P = 9\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sqrt{x} = \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{2}} \\ {\sqrt{x} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = \dfrac{47 + 21\sqrt{5}}{2}} \\ {x = \dfrac{47 - 21\sqrt{5}}{2}} \end{array} \right. \right. \right.$ (thỏa mãn)

TH2: $\left. \dfrac{9}{P} = 2\Rightarrow P = \dfrac{9}{2}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {\sqrt{x} = 2} \\ {\sqrt{x} = \dfrac{1}{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x = 4} \\ {x = \dfrac{1}{4}} \end{array} \right. \right. \right.$ (thỏa mãn)

Vậy tập các giá trị của $x$ thỏa mãn là $\left\{ {\dfrac{47 + 21\sqrt{5}}{2};\dfrac{47 - 21\sqrt{5}}{2};4;\dfrac{1}{4}} \right\}$.

b) Ta có $\left. 3b^{2} + 6b + 2 = 0\Leftrightarrow\dfrac{2}{b^{2}} + \dfrac{6}{b} + 3 = 0\Rightarrow\dfrac{1}{b} \right.$ là nghiệm của phương trình $2x^{2} + 6x + 3 = 0$

Mà $a$ cũng là nghiệm của phương trình $2x^{2} + 6x + 3 = 0$,

nên theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {\dfrac{1}{b} + a = - 3} \\ {\dfrac{a}{b} = \dfrac{3}{2}} \end{array}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {ab + 1 = - 3b} \\ {a = \dfrac{3b}{2}} \end{array} \right. \right.$

Thay vào $P$ ta được: $P = \dfrac{6075b^{3}}{20ab^{2} + {(ab + 1)}^{3}} = \dfrac{6075b^{3}}{20 \cdot \dfrac{3b}{2} \cdot b^{2} + {( - 3b)}^{3}} = 2025$

Vậy $P = 2025$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link