a) Giải phương trình: $x + \sqrt{3x^{2} + 5x + 2} = \sqrt{3x + 2} + 2\sqrt{x + 1}$.b) Cho đa thức $P(x) = x^{2}

Câu hỏi số 858667:

Vận dụng

a) Giải phương trình: $x + \sqrt{3x^{2} + 5x + 2} = \sqrt{3x + 2} + 2\sqrt{x + 1}$.

b) Cho đa thức $P(x) = x^{2} + bx + c$ có hai nghiệm nguyên. Biết rằng $|c| \leq 4$ và $\left| {P(4)} \right|$ là số nguyên tố. Xác định các hệ số $b$ và $c$ của đa thức $P(x)$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858667

Phương pháp giải

a) Đặt $a = \sqrt{3x + 2},b = \sqrt{x + 1},a,b \geq 0$. Suy ra $x = a^{2} - 2b^{2}$.

Đưa về phương trình tích a, b tìm a, b từ đó tìm x, y

b) Đưa P về dạng $P(x) = \left( {x - x_{1}} \right)\left( {x - x_{2}} \right)$. Từ $\left| {P(4)} \right| = \left| {4 - x_{1}} \right|\left| {4 - x_{2}} \right|$ là số nguyên tố.

TH1: Nếu $\left. \left| {4 - x_{1}} \right| = 1\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{1} = 5} \\ {x_{1} = 3} \end{array} \right. \right.$.

TH2: Nếu $\left. \left| {4 - x_{2}} \right| = 1\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{2} = 5} \\ {x_{2} = 3} \end{array} \right. \right.$.

Giải chi tiết

a) ĐКХĐ $\left. 3x + 2 \geq 0;x + 1 \geq 0\Leftrightarrow x \geq - \dfrac{2}{3} \right.$.

Đặt $a = \sqrt{3x + 2},b = \sqrt{x + 1},a,b \geq 0$. Suy ra $x = a^{2} - 2b^{2}$.

Ta có: $\left. x + \sqrt{3x^{2} + 5x + 2} = \sqrt{3x + 2} + 2\sqrt{x + 1}\Leftrightarrow a^{2} - 2b^{2} + ab = a + 2b \right.$.

Suy ra $\left( {a + 2b} \right)\left( {a - b} \right) = a + 2b$.

Trường họp 1: $\left. a + 2b = 0\Leftrightarrow a = b = 0\Leftrightarrow\sqrt{3x + 2} = \sqrt{x + 1} = 0 \right.$. (vô nghiệm)

Trường họp 2: $\left. a - b = 1\Leftrightarrow\sqrt{3x + 2} = \sqrt{x + 1} + 1 \right.$.

Ta bình phương hai vế của phương trình thì $\left. 3x + 2 = x + 2 + 2\sqrt{x + 1}\Leftrightarrow x = \sqrt{x + 1} \right.$

Với $x \geq 0$. Ta có: $\left. x^{2} = x + 1\Leftrightarrow x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right.$.

Thử lại thấy $x = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2}$ thoả mãn phương trình ban đầu.

Vậy tập nghiệm của phương trình là $\left\{ \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} \right\}$.

b) Gọi $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm nguyên của phương trình $P(x) = 0$. Giả sử $x_{1} \leq x_{2}$.

Suy ra $P(x) = \left( {x - x_{1}} \right)\left( {x - x_{2}} \right)$.

Theo định lý Vi - ét, ta có: $\left| {x_{1}x_{2}} \right| = |c| \leq 4$. (1)

Mà $\left| {P(4)} \right| = \left| {4 - x_{1}} \right|\left| {4 - x_{2}} \right|$ là số nguyên tố.

TH1: Nếu $\left. \left| {4 - x_{1}} \right| = 1\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{1} = 5} \\ {x_{1} = 3} \end{array} \right. \right.$.

Với $x_{1} = 3$. Như vậy $\left| x_{2} \right| \leq \dfrac{4}{3} < x_{1}$, vô lý.

Với $x_{1} = 5$. Như vậy $\left. \left| x_{2} \right| \leq \dfrac{4}{5}\Rightarrow x_{2} = 0 < x_{1} \right.$, vô lý.

TH2: Nếu $\left. \left| {4 - x_{2}} \right| = 1\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {x_{2} = 5} \\ {x_{2} = 3} \end{array} \right. \right.$.

Với $x_{2} = 3$. Như vậy $x_{1} = 1 \vee x_{1} = 0$.

Khả năng 1: $x_{1} = 0$ thì $\left| {P(4)} \right| = 4$ không là số nguyên tố.

Khả năng 2: $x_{1} = 1$ thì $b = - \left( {x_{1} + x_{2}} \right) = - 4,c = x_{1}x_{2} = 3$.

Với $x_{2} = 5$. Như vậy $\left. \left| x_{1} \right| \leq \dfrac{4}{5}\Rightarrow x_{1} = 0 \right.$.

Khi đó $\left| {P(4)} \right| = 4$ không là số nguyên tố.

Vậy $b = - 4,c = 3,P(x) = x^{2} - 4x + 3$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link