Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có độ dài $BC = a$. Điểm $D$ di động trên tia đối của tia

Câu hỏi số 858668:

Vận dụng

Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$ có độ dài $BC = a$. Điểm $D$ di động trên tia đối của tia $AC$ sao cho $0^{\circ} < \widehat{ABD} < 45^{\circ}$. Gọi $E$ là hình chiếu vuông góc của $D$ trên đường thẳng $BC,H$ là giao điểm của hai đường thẳng $DE$ và $AB,F$ là giao điểm của hai đường thẳng $CH$ và $DB$.

a) Chứng minh rằng $HF.HC = HE.HD$.

b) Xác định vị trí của điểm $D$ trên tia đối của tia $AC$ sao cho $HF.HC$ có giá trị lớn nhất.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858668

Phương pháp giải

a) Chứng minh $\left. \text{Δ}FHD \sim \text{Δ}EHC\left( {g.g} \right)\Leftrightarrow FH.HC = HE.HD. \right.$

b) Chứng minh $FH.HC = HA.HB \leq \dfrac{{(HA + HB)}^{2}}{4}$

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ $DA = AH = BH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC$.

Giải chi tiết

a. Do $BA$ vuông góc $AC$ và $DE$ vuông góc $BC$ nên $H$ là trực tâm của tam $HBC$.

Suy ra $HC$ vuông $BD$ tại $F$.

Ta có $\angle DFH = \angle HEC = 90^{\circ}$ và $\angle FHD = \angle EHC$

suy ra $\left. \text{Δ}FHD \sim \text{Δ}EHC\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{FH}{EH} = \dfrac{HD}{HC}\Leftrightarrow FH.HC = HE.HD. \right.$

b. Theo định lý Pitago $\left. BC^{2} = AB^{2} + AC^{2}\Rightarrow AB^{2} = \dfrac{a^{2}}{2} \right.$.

Ta có: $\angle ADH = 45^{\circ}$.

Suy ra tam giác $ADH$ vuông cân tại $A$ và $AD = AH$.

Bằng cách chứng minh tương tự câu a thì $\text{Δ}FHB \sim \Delta AHC$

$\left. \Rightarrow\dfrac{FH}{AH} = \dfrac{HB}{HC}\Leftrightarrow FH.HC = HA.HB \right.$

Theo bất đẳng thức AM – GM

$FH.HC = HA.HB \leq \dfrac{{(HA + HB)}^{2}}{4} = \dfrac{AB^{2}}{4} = \dfrac{a^{2}}{8}$.

Vậy $\text{max}\left( {FH \cdot HC} \right) = \dfrac{a^{2}}{8}$.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ $DA = AH = BH = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{1}{2}AC$.

Như vậy khi $D$ thuộc tia đối $AC$ sao cho $DA = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{\sqrt{2}}{4}a$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link