Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài $AB = 2a,O$ là trung điểm của $AB$. Trên nừa đường tròn $\left(

Câu hỏi số 858669:

Vận dụng

Cho đoạn thẳng $AB$ có độ dài $AB = 2a,O$ là trung điểm của $AB$. Trên nừa đường tròn $\left( {O;OA} \right)$ lấy hai điểm $C,D$ sao cho $\widehat{COD} = 60^{\circ}$ và $C$ thuộc cung $AD$ ($C$ khác $A$ và $D$ khác $B$). Đường thẳng $AD$ cắt đường thẳng $BC$ tại $E$, hai đường thẳng $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $F$.

a) Chứng minh rằng $AE.AD + BE.BC = 4a^{2}$.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác $COD$ cắt đoạn thẳng $EF$ và đoạn thẳng $AB$ lần lượt tại $I$ và $H(H$ khác $O)$. Chứng minh rằng ba điểm $F,I,H$ thẳng hàng.

c) Gọi $K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $COD$. Chứng minh rằng $FK$ là phân giác của góc $\widehat{AFB}$.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:858669

Phương pháp giải

a) $\left. \Delta AGE \sim \Delta ADB\left( {g.g} \right)\Rightarrow AE.AD = AB.AG \right.$

$\left. \Delta BGE \sim \Delta BCA\left( {g.g} \right)\Rightarrow BE.BC = BA.BG \right.$

Suy ra $AE.AD + BE.BC = 4a^{2}$

b) Gọi $I'$ là trung điểm của $EF$. Chứng minh $I$ trùng $I'$ và $H$ trùng $G$ và $F,I,H$ thẳng hàng.

c) Chứng minh tứ giác $F,D,K,C$ nội tiếp. Kết hợp $KC = KD$, do đó $FK$ là phân giác góc $AFB$.

Giải chi tiết

a) Gọi hình chiếu của $E$ lên $BC$ là $G$.

Khi đó, ta có $\left. \Delta AGE \sim \Delta ADB\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{AE}{AB} = \dfrac{AG}{AD}\Rightarrow AE.AD = AB.AG.(1) \right.$

Và $\left. \Delta BGE \sim \Delta BCA\left( {g.g} \right)\Rightarrow\dfrac{BE}{BA} = \dfrac{BG}{BC}\Rightarrow BE.BC = BA.BG \right.$.

Từ (1) và (2) ta có: $AE \cdot AD + BE \cdot BC = BA\left( {AG + GB} \right) = BA^{2} = 4a^{2}$.

b) Ta thấy $\angle ADB = \angle ACB = 90$ suy ra $E$ là trực tâm của tam giác $FAB$.

Hay $EF$ vuông góc $AB$.

Gọi $I'$ là trung điểm của $EF$.

Khi đó ta có $I'E = I'F = I'C = I'D$.

Ta có: $\angle I'DO = 180^{\circ} - \angle I'DF - \angle ODB = 180^{\circ} - \angle I'FB - \angle ABF = 90^{\circ}$.

Tương tự: $\angle I'CO = 90^{\circ}$.

Như vậy $I'$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $COD$.

Khi đó $I$ trùng $I'$.

Từ đó cũng suy ra $H$ thuộc đường tròn đường kính $IO$.

Suy ra $\angle IHO = 90^{\circ}$.

Do đó $H$ trùng $G$ và $F,I,H,E$ thẳng hàng.

c) Vì $\angle FCE = \angle FDE = 90^{0}$ nên F, C, E, D cùng thuộc đường tròn đường kính EF

Vì $KC = KD$ và $OC = OD$ nên OK là trung trực của CD

Mà $\left. I \in OK\Rightarrow IC = ID \right.$

Mà I thuộc đường kính EF của đường tròn đường kính EF nên I là tâm đường tròn đường kính EF

Xét đường tròn $\left( {I;IC} \right)$ và $\left( {K;KC} \right)$ cắt nhau tại C, D nên IK là phân giác của $\angle CKD$

Mà $\angle CKD = 2\angle COD = 120^{\circ}$ nên $\angle IKD = \angle IKC = 60^{0}$

Suy ra $\Delta KDI$ cân tại K có $\angle IKD = 60^{0}$ nên $\Delta KDI$ đều

Khi đó $IK = ID$ hay $K \in \left( {I;IC} \right)$

Kết hợp $KC = KD$, do đó $\angle DFK = \angle CFK$ (2 góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Vậy $FK$ là phân giác góc $AFB$.

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link