Người ta thiết kế một mẫu gạch lát nền nhà có dạng hình vuông cạnh

Câu hỏi số 859107:

Vận dụng

Người ta thiết kế một mẫu gạch lát nền nhà có dạng hình vuông cạnh $4\,\text{dm}\text{.}$Bốn góc viên gạch màu trắng, phần ở giữa màu xanh (Hình 5). Đường viền của phần màu xanh bao gồm bốn đoạn thẳng nằm trên các cạnh hình vuông và bốn đường cong có tính chất: Tích khoảng cách từ một điểm bất kì thuộc đường cong đó đến hai trục đối xứng của viên gạch (hai đường thẳng đi qua tâm viên gạch và lần lượt song song với hai cạnh vuông góc) bằng $2\,\text{dm}^{2}\text{.}$ Hãy cho biết phần màu xanh có diện tích bằng bao nhiêu decimét vuông (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Đáp án:

Đáp án đúng là: 13,5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:859107

Phương pháp giải

Gắn hệ trục tọa độ: Đặt gốc O tại tâm viên gạch.

Xác định hàm số: Từ giả thiết $\left| xy \middle| = 2\Rightarrow y = \pm \dfrac{2}{x} \right.$.

Ứng dụng tích phân: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y = f(x)$ và trục hoành (hoặc giữa hai đồ thị) tính bằng công thức $\left. S = \left. \int_{a}^{b} \right|f(x) - g(x) \middle| dx \right.$.

Giải chi tiết

Gắn trục toạ độ $Oxy$ vào viên gạch sao cho hai trục trùng với hai đường đối xứng, gốc $O$ ở tâm hình vuông như hình dưới.

Giả sử toạ độ một điểm trên đường viền cong là $\left( {x;y} \right)$.

Theo giả thiết, ta có: $\left| {xy} \right| = 2$.

Suy ra $y = \dfrac{2}{x}$ hoặc $y = - \dfrac{2}{x}$.

Ứng với hình bên, ta có các đường viền cong $AK,DE$ là một phần của đồ thị hàm số $y = - \dfrac{2}{x}$; các đường viền cong $BC,GH$ là một phần của đồ thị hàm số $y = \dfrac{2}{x}$.

Khi đó, diện tích phần màu xanh bằng:

${\int\limits_{- 2}^{- 1}{\left| {- \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x}} \right|\text{d}x}} + {\int\limits_{1}^{2}{\left| {\dfrac{2}{x} - \dfrac{- 2}{x}} \right|\text{d}x}} + S_{ABEG}$$= {\int\limits_{- 2}^{- 1}{\left( {- \dfrac{2}{x} - \dfrac{2}{x}} \right)\text{d}x}} + {\int\limits_{1}^{2}{\left( {\dfrac{2}{x} - \dfrac{- 2}{x}} \right)\text{d}x}} + 4.2$

$\left. {= - 4\ln|x|} \right|_{- 2}^{- 1}\left. {+ 4\ln|x|} \right|_{1}^{2} + 8 \approx 13,5\left( \text{dm}^{2} \right)$

Đáp số: 13,5

Đáp án cần điền là: 13,5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.