Cho hình lập phương $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $M,N$ lần lượt là trung

Câu hỏi số 860104:

Vận dụng

Cho hình lập phương $ABCD \cdot A'B'C'D'$ có độ dài các cạnh bằng 1. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $B'C'$. Khoảng cách giữa $MN$ và $B'D'$ bằng phân số tối giản $\dfrac{x}{y}$ ($x,y \in {\mathbb{N}}^{\text{*}}$), tổng $x + y =$_____.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:860104

Phương pháp giải

Gắn hệ trục toạ độ và áp dụng công thức khoảng cách giữa hai đường thẳng $d\left( {B'D';MN} \right) = \dfrac{\left| {\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{B^{\prime}D^{\prime}};\overset{\rightarrow}{MN}} \right\rbrack.\overset{\rightarrow}{B^{\prime}M}} \right|}{\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{B^{\prime}D^{\prime}};\overset{\rightarrow}{MN}} \right\rbrack \right|}$

Giải chi tiết

Gắn hệ trục toạ độ Oxyz với A là gốc toạ độ, AD nằm trên tia Ox, AB nằm trên tia tia Oy và AA’ nằm trên tia Oz.

Khi đó $A\left( {0;0;0} \right);D\left( {1;0;0} \right);B\left( {0;1;0} \right);M\left( {\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2};0} \right);A'\left( {0;0;0} \right);B'\left( {0;1;1} \right);D'\left( {1;0;1} \right);N\left( {\dfrac{1}{2};1;1} \right)$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{B^{\prime}D^{\prime}} = \left( {1; - 1;0} \right);\overset{\rightarrow}{MN}\left( {0;\dfrac{1}{2};1} \right);\overset{\rightarrow}{B^{\prime}N}\left( {\dfrac{1}{2};0;0} \right);\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{B^{\prime}D^{\prime}};\overset{\rightarrow}{MN}} \right\rbrack = \left( {- 1; - 1;\dfrac{1}{2}} \right) \right.$

Vậy $d\left( {B'D';MN} \right) = \dfrac{\left| {\left\lbrack {\overset{\rightarrow}{B^{\prime}D^{\prime}};\overset{\rightarrow}{MN}} \right\rbrack.\overset{\rightarrow}{B^{\prime}M}} \right|}{\left| \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{B^{\prime}D^{\prime}};\overset{\rightarrow}{MN}} \right\rbrack \right|} = \dfrac{\left| {\dfrac{1}{2}.\left( {- 1} \right)} \right|}{\sqrt{1 + 1 + \dfrac{1}{4}}} = \dfrac{1}{3}$

$\left. \Rightarrow x = 1;y = 3\Rightarrow x + y = 4 \right.$

Đáp án cần điền là: 4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.