Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^{3}

Câu hỏi số 860453:

Thông hiểu

Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số $y = \dfrac{1}{3}x^{3} - mx^{2} + \left( {2m - 1} \right)x - 3$ có hai điểm cực trị $x_{1};x_{2}$ thỏa mãn $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10$

A. $m = 2$ hoặc $m = 1$.

B. $m = - 2$ hoặc $m = 1$.

C. $m = 2$ hoặc $m = - 1$.

D. $m = - 2$ hoặc $m = - 1$.

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:860453

Phương pháp giải

Tìm $y'$.

Điều kiện để có 2 cực trị là phương trình $y' = 0$ có 2 nghiệm phân biệt ($\Delta' > 0$).

Sử dụng định lý Vi-ét cho phương trình bậc 2: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = - \dfrac{b}{a}} \\ {x_{1}x_{2} = \dfrac{c}{a}} \end{array} \right.$.

Biến đổi biểu thức điều kiện: $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2x_{1}x_{2}$.

Giải chi tiết

Ta có $y' = x^{2} - 2mx + 2m - 1$

Hàm số có hai điểm cực trị $\Leftrightarrow$ Phương trình $y' = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

$\left. \Leftrightarrow\Delta' > 0\Leftrightarrow m^{2} - 1\left( {2m - 1} \right) > 0\Leftrightarrow m^{2} - 2m + 1 > 0\Leftrightarrow\left( {m - 1} \right)^{2} > 0\Leftrightarrow m \neq 1 \right.$ (*)

Gọi $x_{1};x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $y' = 0$ nên $x_{1};x_{2}$ cũng là hai điểm cực trị

Theo Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l} {x_{1} + x_{2} = 2m} \\ {x_{1}x_{2} = 2m - 1} \end{array} \right.$

Để $\left. x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 10\Leftrightarrow\left( {x_{1} + x_{2}} \right)^{2} - 2x_{1}x_{2} = 10 \right.$

Thay Vi-ét vào:

$\begin{array}{l} \left. \Leftrightarrow\left( {2m} \right)^{2} - 2\left( {2m - 1} \right) = 10 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 4m^{2} - 4m - 12 = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {m = - 1} \\ {m = 2} \end{array} \right.\left( {TM} \right) \right. \end{array}$

Vậy $m = - 1~$ hoặc $m = 2$ là giá trị cần tìm

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.