Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6\,\text{cm}$, chiều cao
Có một cốc nước thủy tinh hình trụ, bán kính trong lòng đáy cốc là $6\,\text{cm}$, chiều cao lòng cốc là $10\,\text{cm}$ đang đựng một lượng nước. Tính thể tích lượng nước trong cốc (đơn vị $cm^{3}$) , biết khi nghiêng cốc nước vừa lúc khi nước chạm miệng cốc thì đáy mực nước trùng với đường kính đáy (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
Đáp án đúng là: 240
Quảng cáo
Gắn hệ trục toạ độ tính diện tích thiết diện $S(x)$
Khi đó thể tích cần tính là $V = {\int\limits_{a}^{b}{S(x)}}dx$
Cách 1. Xét thiết diện cắt cốc thủy tinh vuông góc với đường kính tại vị trí bất kỳ có:
$S(x) = \dfrac{1}{2}\sqrt{R^{2} - x^{2}}.\sqrt{R^{2} - x^{2}}.\tan\alpha$ $\left. \Rightarrow S(x) = \dfrac{1}{2}\left( {R^{2} - x^{2}} \right)\tan\alpha \right.$.
Thể tích hình cái nêm là: $V = \dfrac{1}{2}\tan\alpha{\int\limits_{- R}^{R}\left( {R^{2} - x^{2}} \right)}\text{~d}x = \dfrac{2}{3}R^{3}\tan\alpha$.
Thể tích khối nước tạo thành khi nguyên cốc có hình dạng cái nêm nên $V_{kn} = \dfrac{2}{3}R^{3}\tan\alpha$. $\left. \Rightarrow V_{kn} = \dfrac{2}{3}R^{3}.\dfrac{h}{R} = 240\,\text{cm}^{\text{3}} \right.$.
Cách 2. Dựng hệ trục tọa độ $Oxyz$
Gọi $S(x)$ là diện tích thiết diện do mặt phẳng có phương vuông góc với trục $Ox$ với khối nước, mặt phẳng này cắt trục $Ox$ tại điểm có hoành độ $h \geq x \geq 0$.
Gọi $\widehat{IOJ} = \alpha,\,\widehat{FHN} = \beta,\, OE = x$
$\tan\alpha = \dfrac{IJ}{OJ} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{EF}{OE}$ $\left. \Rightarrow EF = \dfrac{6x}{10} \right.$ $\left. \Rightarrow HF = 6 - \dfrac{6x}{10} \right.$.
$\cos\beta = \dfrac{HF}{HN} = \dfrac{6 - \dfrac{6x}{10}}{6} = 1 - \dfrac{x}{10}$; $\beta = \arccos\left( {1 - \dfrac{x}{10}} \right)$
$S(x) = S_{({hinh\, quat})} - S_{HMN} = \dfrac{1}{2}HN^{2}.2\beta - \dfrac{1}{2}HM.HN.\sin 2\beta$
$\left. \Rightarrow S(x) = 6^{2}\arccos\left( {1 - \dfrac{x}{10}} \right) - \dfrac{1}{2}.6.6.2\left( {1 - \dfrac{x}{10}} \right)\sqrt{1 - \left( {1 - \dfrac{x}{10}} \right)^{2}} \right.$
$\left. \Rightarrow V = {\int\limits_{0}^{10}{S(x)\text{d}x}} = {\int\limits_{0}^{10}{\left( {36\arccos\left( {1 - \dfrac{x}{10}} \right) - 36\left( {1 - \dfrac{x}{10}} \right)\sqrt{1 - \left( {1 - \dfrac{x}{10}} \right)^{2}}} \right)\text{d}x}} = 240 \right.$.
Đáp án cần điền là: 240
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
