Tìm tập các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(P(x)=\left(m^2+1\right)

Câu hỏi số 861192:

Vận dụng

Tìm tập các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(P(x)=\left(m^2+1\right) x^3-2 m^2 x^2-4 x+m^2+1\) có ba nghiệm phân biệt.

A. \((-\infty ; 0)\)

B. \((0 ;+\infty)\)

C. \(\mathbb{R}\)

D. \(\mathbb{R} \backslash\{0\}\)

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861192

Phương pháp giải

Vì \(P(x)\) là đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Dựa vào định lí giá trị trung gian (Bolzano): Nếu \(P(a) \cdot P(b)<0\) thì tồn tại \(c \in(a, b)\) sao c \(P(c)=0\).

Tìm ba khoảng rời nhau mà trên mỗi khoảng hàm số đổi dấu, từ đó suy ra phương trình có nghiệm thực phân biệt.

Giải chi tiết

\(P(x)=\left(m^2+1\right) x^3-2 m^2 x^2-4 x+m^2+1.\)

Vì \(P(x)\) là đa thức nên liên tục trên \(\mathbb{R}\).

Ta xét dấu của \(P(x)\) tại vài điểm đặc biệt:

Khi \(x \rightarrow-\infty\) thì \(\left(m^2+1\right) x^3 \rightarrow-\infty\) (vì \(m^2+1>0\) ), nên \(\lim _{x \rightarrow-\infty} P(x)=-\infty\)

\(P(0)=m^2+1>0\)

\(P(1)=\left(m^2+1\right)-2 m^2-4+\left(m^2+1\right)=2 m^2+2-2 m^2-4=-2<0 . \)

\(P(2)=8\left(m^2+1\right)-8 m^2-8+\left(m^2+1\right)=m^2+1>0\)

Áp dụng định lí giá trị trung gian (Bolzano):

Vì \(\lim _{x \rightarrow-\infty} P(x)=-\infty\) và \(P(0)>0\) nên tồn tại \(x_1 \in(-\infty, 0)\) sao cho \(P\left(x_1\right)=0\).

Vì \(P(0)>0\) và \(P(1)<0\) nên tồn tại \(x_2 \in(0,1)\) sao cho \(P\left(x_2\right)=0\).

Vì \(P(1)<0\) và \(P(2)>0\) nên tồn tại \(x_3 \in(1,2)\) sao cho \(P\left(x_3\right)=0\).

Ba khoảng \((-\infty, 0),(0,1),(1,2)\) rời nhau nên \(x_1, x_2, x_3\) phân biệt.

Phương trình đã cho luôn có 3 nghiệm thực phân biệt với mọi \(m \in \mathbb{R}\).

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.