Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 3}{3}$

Câu hỏi số 861490:

Vận dụng

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 3}{3}$ và điểm $A\left( {2;3; - 1} \right)$.

Điểm $A$ không thuộc đường thẳng $d$.

Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ có phương trình là $2x + y + 3z + 4 = 0$.

Tọa độ giao điểm của $d$ và mặt phẳng $(P)$ là điểm $K\left( {\dfrac{2}{7}; - \dfrac{33}{14};\dfrac{27}{14}} \right)$.

Gọi $(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(Q)$ là lớn nhất. Khi đó mặt phẳng $(Q)$ có phương trình là $24x + 75y - 41z + 249 = 0$.

Đáp án đúng là: A; C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861490

Phương pháp giải

a) Thay toạ độ A vào d kiểm tra

b) Từ $\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = \overset{\rightarrow}{u_{d}}$ viết (P)

c) Gọi $B\left( {1 + 2t, - 2 + t,3 + 3t} \right)$ là giao điểm của d và (P). Từ $B \in (P)$ tìm t

d) (Q) qua 1 điểm thuộc d và có VTPT là $\overset{\rightarrow}{AH}$ với H là hình chiếu của A xuống d

Giải chi tiết

a) Đúng. Thay $A\left( {2;3; - 1} \right)$ vào $d:\dfrac{x - 1}{2} = \dfrac{y + 2}{1} = \dfrac{z - 3}{3}$ ta có $d:\dfrac{2 - 1}{2} \neq \dfrac{3 + 2}{1} \neq \dfrac{- 1 - 3}{3}$ nên A không thuộc d

b) Sai. Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A$ và vuông góc với $d$ có VTPT $\overset{\rightarrow}{n_{(P)}} = \overset{\rightarrow}{u_{d}} = \left( {2,1,3} \right)$

$\left. \Rightarrow(P):2\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 3} \right) + 3\left( {z + 1} \right) = 0\Leftrightarrow 2x + y + 3z - 4 = 0 \right.$

c) Đúng. Gọi $B\left( {1 + 2t, - 2 + t,3 + 3t} \right)$ là giao điểm của d và (P)

Do $\left. B \in (P)\Rightarrow 2\left( {1 + 2t} \right) + \left( {- 2 + t} \right) + 3\left( {3 + 3t} \right) - 4 = 0\Leftrightarrow t = - \dfrac{5}{14} \right.$ $\left. \Rightarrow B\left( {\dfrac{2}{7}, - \dfrac{33}{14};\dfrac{27}{14}} \right) \right.$

d) Đúng. Gọi $H\left( {1 + 2t, - 2 + t,3 + 3t} \right)$ là hình chiếu của A xuống d

Khi đó $\overset{\rightarrow}{AH}\left( {2t - 1;t - 5;3t + 4} \right)$. Do $\left. \overset{\rightarrow}{AH}\bot\overset{\rightarrow}{u_{d}}\Leftrightarrow\overset{\rightarrow}{AH}.\overset{\rightarrow}{u_{d}} = 0\Leftrightarrow 2\left( {2t - 1} \right) + 1\left( {t - 5} \right) + 3\left( {3t + 4} \right) = 0\Leftrightarrow t = - \dfrac{5}{14} \right.$

$\left. \Rightarrow\overset{\rightarrow}{AH}\left( {- \dfrac{12}{7}; - \dfrac{75}{14};\dfrac{41}{14}} \right)\Rightarrow\overset{\rightarrow}{u_{AH}} = \left( {24,75, - 41} \right) \right.$

$(Q)$ là mặt phẳng chứa $d$ sao cho khoảng cách từ $A$ đến $(Q)$ là lớn nhất.

Khi đó $\overset{\rightarrow}{n_{(Q)}} = \overset{\rightarrow}{u_{AH}} = \left( {24,75, - 41} \right)$ và qua $\left( {1, - 2,3} \right)$

$\begin{array}{l} \left. \Rightarrow(Q):24\left( {x - 1} \right) + 75\left( {y + 2} \right) - 41\left( {z - 3} \right) = 0 \right. \\ \left. \Leftrightarrow 24x + 75y - 41z + 249 = 0 \right. \end{array}$

Đáp án cần chọn là: A; C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.