Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $AC = 1,BC = 2,\angle ACB = 120{^\circ}$ có thể tích V. Gọi M là

Câu hỏi số 861957:

Vận dụng

Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có $AC = 1,BC = 2,\angle ACB = 120{^\circ}$ có thể tích V. Gọi M là trung điểm của BB'. Nếu $d\left( {M,\left( {C'AB} \right)} \right) = \dfrac{\sqrt{102}}{17}a$ thì chiều cao của lăng trụ bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861957

Phương pháp giải

Giả sử $\left. CC' = x\Rightarrow AC' = \sqrt{x^{2} + 1} \right.$ ; $BC' = \sqrt{x^{2} + 4}$ và $AB = \sqrt{7}$

Tính diện tích tam giác ABC’ theo x kết hợp với khoảng cách tìm x

Giải chi tiết

Ta có: $S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AC.BC.\sin\angle ACB = \dfrac{1}{2}.2.\sin 120{^\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

$AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2} - 2AC.BC\cos\angle ACB} = \sqrt{1 + 4 - 2.1.2\cos 120{^\circ}} = \sqrt{7}$

Giả sử $\left. CC' = x\Rightarrow AC' = \sqrt{x^{2} + 1} \right.$ ; $BC' = \sqrt{x^{2} + 4}$ và $AB = \sqrt{7}$

Ta có công thức herong thì

$\begin{array}{l} {S^{2} = \dfrac{a + b + c}{2}.\left( {\dfrac{a + b + c}{2} - c} \right)\left( {\dfrac{a + b + c}{2} - a} \right).\left( {\dfrac{a + b + c}{2} - b} \right)} \\ {S^{2} = \dfrac{a + b + c}{2}.\dfrac{a + b - c}{2}.\dfrac{b + c - a}{2}.\dfrac{a + c - b}{2}} \\ {= \dfrac{1}{16}.\left\lbrack {\left( {a + b} \right)^{2} - c^{2}} \right\rbrack.\left\lbrack {c^{2} - \left( {a - b} \right)^{2}} \right\rbrack} \\ {= \dfrac{1}{16}\left\lbrack {2ab + a^{2} + b^{2} - c^{2}} \right\rbrack\left\lbrack {2ab - \left( {a^{2} + b^{2} - c^{2}} \right)} \right\rbrack} \\ {= \dfrac{1}{16}\left\lbrack {4a^{2}b^{2} - \left( {a^{2} + b^{2} - c^{2}} \right)^{2}} \right\rbrack} \end{array}$

$\begin{array}{*{20}{l}} { \Rightarrow S_{ABC'}^2 = \dfrac{1}{{16}}\left( {4\left( {{x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} + 4} \right) - {{\left( {{x^2} + 1 + {x^2} + 4 - 7} \right)}^2}} \right)}\\ { = \dfrac{1}{{16}}\left( {4{x^2} + 20{x^2} + 16 - {{\left( {2{x^2} - 2} \right)}^2}} \right)}\\ { = \dfrac{1}{{16}}\left( {28{x^2} + 12} \right){\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} (1)} \end{array}$

Ta có $\left. V_{C'ABC} = V_{C.ABC'}\Leftrightarrow x.\dfrac{\sqrt{3}}{2} = \dfrac{\sqrt{102}}{17}S_{ABC'} \right.$

$\left. \Rightarrow S_{ABC'} = \dfrac{\sqrt{34}}{4}x\Rightarrow S_{ABC'}^{2} = \dfrac{17}{8}x^{2} \right.$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\dfrac{1}{16}\left( {28x^{2} + 12} \right) = \dfrac{17}{8}x^{2}$

$\left. \Leftrightarrow 28x^{2} + 12 = 34x^{2}\Leftrightarrow x^{2} = 2\Leftrightarrow x = \sqrt{2} \right.$

Vậy chiều cao lăng trụ bằng $\sqrt{2}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.