Cho hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\forall x \in

Câu hỏi số 861958:

Vận dụng

Cho hàm số $y = f(x)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ và thoả mãn $\forall x \in {\mathbb{R}}$ thì $\left\lbrack {2f(x) - x} \right\rbrack^{2} = 4x^{6} + 12x^{4} + 9x^{2}$. Gọi $M$ và $m$ lần lượt là giá tri lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = f(x)$ trên đoạn $\left\lbrack {1;2} \right\rbrack$. Giá trị của $P = M - m$ bằng

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:861958

Phương pháp giải

Để tìm GTNN, GTLN của hàm số $f$ trên đoạn $\left\lbrack {a;b} \right\rbrack$, ta làm như sau:

- Tìm các điểm $x_{1};x_{2};...;x_{n}$ thuộc khoảng $\left( {a;b} \right)$ mà tại đó hàm số $f$ có đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

- Tính $f\left( {{x_1}} \right);f\left( {{x_2}} \right);...;f\left( {{x_n}} \right);{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} f\left( a \right);{\mkern 1mu} f\left( b \right)$

- So sánh các giá trị vừa tìm được. Số lớn nhất trong các giá trị đó chính là GTLN của $f$ trên $\left\lbrack {a;b} \right\rbrack$; số nhỏ nhất trong các giá trị đó chính là GTNN của $f$ trên $\left\lbrack {a;b} \right\rbrack$.

Giải chi tiết

Ta có: $\left\lbrack {2f(x) - x} \right\rbrack^{2} = 4x^{6} + 12x^{4} + 9x^{2}$

$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack {2f(x) - x} \right\rbrack^{2} = \left( {2x^{3} + 3x} \right)^{2} \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {2f(x) - x = \ \ - 2x^{3} - 3x} \\ {2f(x) - x = 2x^{3} + 3x} \end{array} \right. \right.$$\left. \Leftrightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {f(x) = \ \ - x^{3} - x} \\ {f(x) = x^{3} + 2x} \end{array} \right. \right.$.

TH1: $f(x) = \ \ - x^{3} - x$, có: $f'(x)=-3x^2-1<0$ nên hàm số nghịch biến trên $\left. {\mathbb{R}}\Rightarrow \right.$ Loại.

TH2: $f(x) = x^{3} + 2x$, có: $f'(x)=3x^2+2>0$ nên $f(x)$đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Lại có: $f(1) = 3$; $f(2) = 12$. Do đó $M = 12;{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} m = 3$.

Vậy $P = M - m = 9$.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.