Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)$.

Câu hỏi số 862523:

Thông hiểu

Trong không gian $Oxyz,$ cho $A\left( {2;0;0} \right),B\left( {0;2;0} \right),C\left( {0;0;3} \right)$. Chọn các khẳng định đúng

Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3;3;2} \right).$

Mặt phẳng đi qua $C$ và vuông góc với đường thẳng $AB$ có phương trình là $x - y = 0.$

Mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với $\left( {ABC} \right)$ có phương trình là $x + y - 3z + 2 = 0.$.

Gọi $M\left( {a;b;c} \right) \in \left( {Oyz} \right)$ sao cho $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất, khi đó $3\left( {a + b} \right) + c = 5.$

Đáp án đúng là: A; B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:862523

Phương pháp giải

Mặt phẳng $A\left( {x - x_{0}} \right) + B\left( {y - y_{0}} \right) + C\left( {z - z_{0}} \right) = 0$ đi qua điểm $M_{0}\left( {x_{0};y_{0};z_{0}} \right)$ và nhận vectơ $\overset{\rightarrow}{n}(A;B;C)$ khác $\overset{\rightarrow}{0}$ là VTPT.

Viết phương trình $\left( {ABC} \right)$ qua A và có VTPT $\overset{\rightarrow}{n} = \left\lbrack {\overset{\rightarrow}{AB},\overset{\rightarrow}{AC}} \right\rbrack$ hoặc dùng phương trình đoạn chắn

Sử dụng tính chất $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}= 3 \overrightarrow {MG}$ với G là trọng tâm của tam giác ABC

Giải chi tiết

a) Đúng: Phương trình mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$:

$\dfrac{x}{2} + \dfrac{y}{2} + \dfrac{z}{3} = 1 \Leftrightarrow 3x + 3y + 2z - 6 = 0.$

Suy ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ là $\overrightarrow n = \left( {3;3;2} \right).$

b) Đúng: Gọi $\left( \alpha \right)$ là mặt phẳng qua $C$ và vuông góc với $AB.$

Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ có VTPT là:

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 2;2;0} \right) = - 2\left( {1; - 1;0} \right).$

Phương trình của $\left( \alpha \right)$ là:

$1\left( {x - 0} \right) - 1\left( {y - 0} \right) + 0\left( {z - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x - y = 0.$

c) Sai: Gọi $\left( \beta \right)$ là mặt phẳng mặt phẳng chứa đường thẳng $AB$ và vuông góc với $\left( {ABC} \right)$ có một vectơ pháp tuyến của $\left( \beta \right)$ là:

$\overrightarrow {{n_\beta }} = \left[ {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow n } \right] = \left( {4;4; - 12} \right) = 4\left( {1;1; - 3} \right).$

Phương trình của $\left( \beta \right)$ là:

$1\left( {x - 2} \right) + 1\left( {y - 0} \right) - 3\left( {z - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow x + y - 3z - 2 = 0.$

d) Sai: Gọi $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC,$ ta có $G\left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};1} \right).$

Vì $\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right|$

Suy ra ${\left| {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right|_{\min }} \Leftrightarrow {\left| {\overrightarrow {MG} } \right|_{\min }}.$

Mà $M \in Oyz \Rightarrow M$ phải là hình chiếu của $G$ lên $Oyz$

Nên $M\left( {0;\dfrac{2}{3};1} \right)$

Vậy $3\left( {a + b} \right) + c = 2 + 1 = 3.$

Đáp án cần chọn là: A; B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.