Giải hệ phương trình: (Với x, y ∈R).

Câu hỏi số 9164:

Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}x+\sqrt{x^{2}-2x+2}=3^{y-1}+1\\y+\sqrt{y^{2}-2y+2}=3^{x-1}+1\end{matrix}\right.$ (Với x, y ∈R).

A. Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 4.

B. Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 1.

C. Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 2.

D. Hệ phương trình có một nghiệm x = y = 3.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9164

Giải chi tiết

Hệ phương trình được xác định với mọi x, y ∈R

Trừ từng vế hai phương trình ta được:

x + $\sqrt{x^{2}-2x+2}$ + 3^{x -1} = y + $\sqrt{y^{2}-2y+2}$ + 3^y-1 (*)

Xét hàm số f(t) = t + $\sqrt{t^{2}-2t+2}$ + 3^{t -1}

Ta có: f’(t) = 1 + $\frac{t-1}{\sqrt{t^{2}-2t+2}}$ + 3^t-1ln3 = $\frac{\sqrt{t^{2}-2t+2}+t-1}{\sqrt{t^{2}-2t+2}}$ + 3^t-1ln3 > $\frac{|t-1|+t-1}{\sqrt{t^{2}-2t+2}}$ + 3^t-1ln3 > 0

Do đó hàm số f(t) đồng biến trên R, nên từ phương trình (*) suy ra x = y . Khi đó hệ phương trình đã cho trở thành: x + $\sqrt{x^{2}-2x+2}$ - 1 = 3^{x -1} ⇔ ln(x + $\sqrt{x^{2}-2x+2}$ - 1) = (x - 1)ln3 (**)

Đặt g(x) = ln(x + $\sqrt{x^{2}-2x+2}$ - 1) – (x – 1)ln3, hàm số xác định trên R

Ta có: g’(x) = $\frac{1+\frac{x-1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}}{x-1+\sqrt{x^{2}-2x+2}}$ - ln3 = $\frac{1}{\sqrt{x^{2}-2x+2}}$ - ln3 ≤ 1 – ln3 < 0 nên g(x) nghịch biến trên R

Mặt khác g(1) = 0, suy ra pt(**) có nghiệm duy nhất x =1

Như vậy, hệ phương trình có một nghiệm x = y = 1.

Đáp án cần chọn là: B

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.