Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi
Trang chủ
Luyện thi đại học môn toán

Cho tam giác \(ABC\)  đều cạnh \(a.\) Xét tính đúng/sai của khẳng định

Câu hỏi số 941446:
Vận dụng

Cho tam giác \(ABC\)  đều cạnh \(a.\) Xét tính đúng/sai của khẳng định sau

Đúng Sai
a) Biết điểm \(I\)  thỏa mãn \(4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \). Khi đó độ dài \(IA+IB+IC\) lớn hơn $\dfrac{9a}{5}$.
b) Cho điểm \(M\)  thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3{a^2}.\) Khi đó \(M\)  luôn thuộc một đường tròn cố định có bán kính luôn nhỏ hơn $\dfrac{a}{2}$.

Đáp án đúng là: Đ; S

Quảng cáo

Xem lời giải
Câu hỏi:941446
Phương pháp giải

1. Sử dụng tính chất trọng tâm của tam giác.

2. Hai vectơ vuông góc với nhau thì có tích vô hướng bằng không.

Giải chi tiết

1) Cho tam giác \(ABC\)  đều cạnh \(a.\)

a) Xác định vị trí điểm \(I\)  thỏa mãn \(4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = \overrightarrow 0 \) và tính độ dài \(IA+IB+IC.\)

Gọi \(G\)  là trọng tâm tam giác \(ABC.\)  

\(4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC}  = 0 \Leftrightarrow 3\overrightarrow {IA}  + 3\overrightarrow {IG}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IG}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow I\) là trung điểm của \(AG.\)

Gọi K là trung điểm của BC.

Vì tam giác ABC đều nên \(AK = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} \Rightarrow AG = \dfrac{{2AK}}{3} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} \Rightarrow IA = \frac{{AG}}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}.\)

\(IK = AK - IA = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Theo định lý Py-ta-go ta có: \(IB = \sqrt {I{K^2} + B{K^2}}  = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{9} + \dfrac{{{a^2}}}{4}}  \Rightarrow IB = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}.\)

Tương tự ta tính được \(IC = \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6}.\)

Vậy $IA+IB+IC=\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}+2. \dfrac{{a\sqrt {21} }}{6} > \dfrac{9a}{5}$

b) Cho điểm \(M\)  thay đổi nhưng luôn thỏa mãn đẳng thức \(4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 3{a^2}.\) Chứng minh rằng điểm \(M\)  luôn thuộc một đường tròn cố định.

\(\begin{array}{l}4M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} = 4{\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IB} } \right)^2} + {\left( {\overrightarrow {MI}  + \overrightarrow {IC} } \right)^2}\\ = 6M{I^2} + 2\overrightarrow {MI} \left( {4\overrightarrow {IA}  + \overrightarrow {IB}  + \overrightarrow {IC} } \right) +4IA^2+ I{B^2} + I{C^2}\\ = 6M{I^2} +4IA^2+ I{B^2} + I{C^2}\end{array}\)

Ta có:

$4IA^2 = 4 \cdot \left(\dfrac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2 = 4 \cdot \dfrac{3a^2}{36} = \dfrac{a^2}{3}$

$IB^2 = IC^2 = \left(\dfrac{a\sqrt{21}}{6}\right)^2 = \dfrac{21a^2}{36} = \dfrac{7a^2}{12}$

Tổng các hằng số là:

$4IA^2 + IB^2 + IC^2 = \dfrac{a^2}{3} + \dfrac{7a^2}{12} + \dfrac{7a^2}{12} = \dfrac{4a^2 + 7a^2 + 7a^2}{12} = \dfrac{18a^2}{12} = \dfrac{3a^2}{2}$

Thay vào phương trình:

$6MI^2 + \dfrac{3a^2}{2} = 3a^2 \Rightarrow 6MI^2 = \dfrac{3a^2}{2} \Rightarrow MI^2 = \dfrac{a^2}{4} \Rightarrow MI = \dfrac{a}{2}$

Vậy điểm \(M\)  luôn nằm trên đường tròn tâm \(I,\)  bán kính \(\dfrac{a}{2}\)

Đáp án cần chọn là: Đ; S

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>>  2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com

Đăng ký nhận tư vấn