Có một tấm bìa hình ngũ giác đều MNPQR tâm O cạnh bằng 30 cm, cắt bỏ

Câu hỏi số 942461:

Vận dụng

Có một tấm bìa hình ngũ giác đều MNPQR tâm O cạnh bằng 30 cm, cắt bỏ 5 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của ngũ giác đều ban đầu, đỉnh là đỉnh của ngũ giác đều bên trong như hình vẽ rồi gập lên thành một khối chóp ngũ giác đều có cạnh đáy bằng x (cm). Tìm x để thể tích tạo thành là lớn nhất.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:942461

Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của ngũ giác đều và hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm diện tích đáy, chiều cao khối chóp. Từ đó xây dựng công thức tính thể tích của khối chóp theo x. Ứng dụng đạo hàm tìm x để thể tích đạt GTLN.

Giải chi tiết

MNPQR là ngũ giác đều nên $\widehat{ROM} = \widehat{MON} = \widehat{NOP} = \widehat{POQ} = \widehat{QOR} = \dfrac{360^{o}}{5} = 72^{o}$.

Xét tam giác OQR cân tại O, đường cao OK: $\widehat{ROK} = \widehat{KOQ} = \dfrac{\widehat{ROQ}}{2} = \dfrac{72^{o}}{2} = 36^{o}$.

Xét tam giác ROK vuông tại K:

$\left. \sin\widehat{ROK} = \dfrac{RK}{OR}\Rightarrow OR = \dfrac{RK}{\sin\widehat{ROK}} = \dfrac{RQ}{2}:\sin\widehat{ROK} = \dfrac{30}{2}:\sin 36^{o} = \dfrac{15}{\sin 36^{o}} \right.$ (cm).

Ta có $EI = ID = \dfrac{ED}{2} = \dfrac{x}{2}$ (cm).

Xét tam giác OIE vuông tại I:

$\left. \tan\widehat{EOI} = \dfrac{EI}{OI}\Leftrightarrow OI = \dfrac{EI}{\tan\widehat{EOI}} = \dfrac{x}{2}:\tan 36^{o} = \dfrac{x}{2\tan 36^{o}} \right.$ (cm).

$IR = OR - OI = \dfrac{15}{\sin 36^{o}} - \dfrac{x}{2\tan 36^{o}}$ (cm).

Gọi đỉnh chóp là S, sau khi được gập lên thì các điểm M, N, P, Q, R, S trùng nhau.

Chiều cao khối chóp là:

$h = \sqrt{IR^{2} - OI^{2}} = \sqrt{\left( {\dfrac{15}{\sin 36^{o}} - \dfrac{x}{2\tan 36^{o}}} \right)^{2} - \left( \dfrac{x}{2\tan 36^{o}} \right)^{2}}$ (cm).

Diện tích đáy khối chóp là:

$S_{MNPQR} = 5.S_{OED} = 5.\dfrac{1}{2}.OI.x = 5.\dfrac{1}{2}.\dfrac{x}{2\tan 36^{o}}.x = \dfrac{5x^{2}}{4\tan 36^{o}}$ $(cm^{2})$.

Thể tích khối chóp là:

$V = \dfrac{1}{3}S_{MNPQR}.h = \dfrac{1}{3}.\sqrt{\left( {\dfrac{15}{\sin 36^{o}} - \dfrac{x}{2\tan 36^{o}}} \right)^{2} - \left( \dfrac{x}{2\tan 36^{o}} \right)^{2}}.\dfrac{5x^{2}}{4\tan 36^{o}}$ $(cm^{3})$.

Ta có $\left. V' = 0\Leftrightarrow x \approx 14,8 \right.$ (cm). Vậy thể tích tạo thành lớn nhất khi x xấp xỉ 14,8 (cm).

Đáp án cần điền là: 14,8

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.