Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = 3a (a > 0) và góc BAD = 600. Chứng minh rằng AB vuông góc với BD’ và tính khoảng cách từ điểm A’ đến mặt phẳng (ABD’)

Câu hỏi số 9441:

Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có AB = a, AD = 2a, AA' = 3a (a > 0) và góc BAD = 60⁰. Chứng minh rằng AB vuông góc với BD’ và tính khoảng cách từ điểm A’ đến mặt phẳng (ABD’)

A. d(A' , (ABD')) = $\small \frac{a}{2}$

B. d(A' , (ABD')) = a

C. d(A' , (ABD')) = $\small \frac{3a}{2}$

D. d(A' , (ABD')) = 3a

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9441

Giải chi tiết

Trong tam giác ABD, ta có:

BD² = AB² + AD² – 2AB. AD.cos60⁰ = 3a² ⇒ AB² + BD² = AD² ⇒ ∆ABD vuông tại B

Như vậy: AB ⊥ BD và AB ⊥ BB' ⇒ AB ⊥ (BB'D'D) ⇒ AB ⊥ BD'

Gọi O = AD' ∩ A'D ⇒ O là trung điểm của A'D,

Suy ra d(A' , (ABD')) = d(D , (ABD'))

Kẻ DH ⊥ D'B (H ∈ D'B) (1)

Từ AB ⊥ (BB'D'D) ⇒ AB ⊥ DH (2)

Từ (1) và (2) suy ra DH ⊥ (ABD') ⇒ d(D, (ABD')) = DH

Trong tam giác BDD' vuông tại D, có DH là đường cao, suy ra

$\small \frac{1}{DH^{2}}$ = $\small \frac{1}{DB^{2}}$ + $\small \frac{1}{DD'^{2}}$ ⇒ DH = $\small \frac{3a}{2}$ ⇒ d(A' , (ABD')) = $\small \frac{3a}{2}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.