Cho các số thực x , y , z thỏa mãn Chứng minh rằng 1 + ≤ + ≤

Bất Đẳng thức, Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Câu hỏi số 9451:

Cho các số thực x , y , z thỏa mãn $\small \left\{\begin{matrix} x\geq 0\\y\geq 0 \\ x^{2}+2y^{2}=1 \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng 1 + $\small \sqrt{1+\sqrt{2}}$ ≤ $\small \sqrt{1+2x}$ + $\small \sqrt{1+2y}$ ≤ $\small \sqrt{4+2\sqrt{6}}$

A. Chứng minh: x + y ≤ - $\frac{\sqrt{6}}{2}$ x + y ≥ - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

B. Chứng minh: x + y ≤ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ x + y ≥ - $\frac{\sqrt{2}}{2}$

C. Chứng minh: x + y ≤ $\frac{\sqrt{6}}{2}$ x + y ≥ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

D. Chứng minh: x + y ≤ - $\frac{\sqrt{6}}{2}$ x + y ≥ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:9451

Giải chi tiết

Áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:

( $\small \sqrt{1+2x}$ + $\small \sqrt{1+2y}$ )² ≤ 2(2 + 2(x + y))

Và (x + y)² = (1.x + $\frac{1}{\sqrt{2}}$ . √2 y)² ≤ (1 + $\frac{1}{2}$ )(x² + 2y²) = $\frac{3}{2}$

Suy ra x + y ≤ $\frac{\sqrt{6}}{2}$

Do đó $\small \sqrt{1+2x}$ + $\small \sqrt{1+2y}$ ≤ $\small \sqrt{4+2\sqrt{6}}$

Ta lại có:

( $\small \sqrt{1+2x}$ + $\small \sqrt{1+2y}$ )² = 2 + 2(x + y) + 2 $\sqrt{1+2(x+y)+4xy}$ ≥ 2 + 2(x + y) + 2 $\sqrt{1+2(x+y)}$

Mặt khác

(x + y)² = x² + 2xy + y² ≥ $\frac{x^{2}}{2}$ + y² = $\frac{1}{2}$ ⇒ x + y ≥ $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Do đó $\small \sqrt{1+2x}$ + $\small \sqrt{1+2y}$ ≥ 1 + $\small \sqrt{1+\sqrt{2}}$

Đáp án cần chọn là: C

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.