Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2\,\,\,\,\,}\\{y = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z

Câu hỏi số 947265:

Vận dụng

Cho hai đường thẳng \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2\,\,\,\,\,}\\{y = t\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\{z = 2 + 2t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right),\,\Delta :\dfrac{{x - 3}}{1} = \dfrac{{y - 1}}{{ - 1}} = \dfrac{{z - 4}}{1}\) và mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 2 = 0\). Gọi \(d',\Delta '\) lần lượt là hình chiếu của \(d\) và \(\Delta \) lên mặt phẳng \(\left( P \right)\). Gọi \(M\left( {a;b;c} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(d'\) và \(\Delta '\). Giá trị của tổng \(a + bc\) bằng:

Đáp án:

Đáp án đúng là: 5

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:947265

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng \(d',\Delta '\), sau đó tìm tọa độ giao điểm \(M\left( {a;b;c} \right)\) và tính tổng \(a + bc\).

Giải chi tiết

+) Viết phương trình đường thẳng \(d'\):

Gọi \(A\left( { - 2;a;2 + 2a} \right)\) là giao điểm của \(d\) và \(\left( P \right) \Rightarrow - 2 + a - 2 - 2a + 2 = 0 \Leftrightarrow a = - 2 \Rightarrow A\left( { - 2; - 2; - 2} \right)\).

Lấy \(B\left( { - 2;0;2} \right) \in d\). Gọi \(B'\) là hình chiếu của \(B\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow AB'\) là hình chiếu của \(AB\) lên \(\left( P \right)\) hay \(AB' \equiv d'\).

Phương trình đường thẳng \(BB'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = t\\z = 2 - t\end{array} \right.\).

Giả sử \(B'\left( { - 2 + b';b';2 - b'} \right) \Rightarrow - 2 + b' + b' - 2 + b' + 2 = 0 \Leftrightarrow b' = \dfrac{2}{3} \Rightarrow B'\left( { - \dfrac{4}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{4}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB'} = \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{8}{3};\dfrac{{10}}{3}} \right)\).

Đường thẳng \(d'\) đi qua \(A\left( { - 2; - 2; - 2} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( {1;4;5} \right)\) có phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + t\\y = - 2 + 4t\\z = - 2 + 5t\end{array} \right.\).

+) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta '\):

Gọi \(C\left( {3 + c;1 - c;4 + c} \right)\) là giao điểm của \(\Delta\) và \(\left( P \right) \Rightarrow 3 + c + 1 - c - 4 - c + 2 = 0 \Leftrightarrow c = 2 \Rightarrow C\left( {5; - 1;6} \right)\).

Lấy \(D\left( {3;1;4} \right) \in \Delta \). Gọi \(D'\) là hình chiếu của \(D\) lên \(\left( P \right) \Rightarrow CD'\) là hình chiếu của \(CD\) lên \(\left( P \right)\) hay \(CD' \equiv \Delta '\).

Phương trình đường thẳng \(DD'\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 3 + t\\y = 1 + t\\z = 4 - t\end{array} \right.\).

Giả sử \(D'\left( {3 + d';1 + d';4 - d'} \right) \Rightarrow 3 + d' + 1 + d' - 4 + d' + 2 = 0 \Leftrightarrow d' = - \dfrac{2}{3}\).

\( \Rightarrow D'\left( {\dfrac{7}{3};\dfrac{1}{3};\dfrac{{14}}{3}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {CD'} = \left( { - \dfrac{8}{3};\dfrac{4}{3}; - \dfrac{4}{3}} \right)\).

Đường thẳng \(\Delta '\) đi qua \(C\left( {5; - 1;6} \right)\) và có 1 VTCP \(\overrightarrow {{u_{\Delta '}}} = \left( {2; - 1;1} \right)\) có phương trình : \(\left\{ \begin{array}{l}x = 5 + 2t\\y = - 1 - t\\z = 6 + t\end{array} \right.\).

+) Tìm \(M\left( {a;b;c} \right)\) là giao điểm của hai đường thẳng \(d'\) và \(\Delta '\):

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l} - 2 + t = 5 + 2t'\\ - 2 + 4t = - 1 - t'\\ - 2 + 5t = 6 + t'\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t - 2t' = 7\\4t + t' = 1\\5t - t' = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = - 3\\5t - t' = 8\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = 1\\t' = - 3\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow M\left( { - 1;2;3} \right) \Rightarrow \)\(a + bc = - 1 + 2.3 = 5\).

Đáp án cần điền là: 5

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.