Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 6

Câu hỏi số 951288:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh bằng 6 và góc $\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng $(ABCD)$ trùng với trọng tâm G của tam giác ABC và số đo góc nhị diện [S, AC, G] bằng $60^{{^\circ}}$. Khi đó, khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và AC bằng $\dfrac{b}{\sqrt{a}}$ (với $a,b \in {\mathbb{Z}}$). Giá trị của $a^{2} - b^{2}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:951288

Phương pháp giải

Xác định chiều cao khối chóp dựa vào góc nhị diện.

Sử dụng tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng để đưa khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau về khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Giải chi tiết

Vì ABCD là hình thoi cạnh 6 và $\widehat{ABC} = 60^{{^\circ}}$ nên ABC là tam giác đều cạnh 6.

O là trung điểm của AC và $BO\bot AC$. Có $BO = 6 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$.

Trọng tâm G của tam giác ABC nằm trên đoạn BO sao cho $GO = \dfrac{1}{3}BO = \sqrt{3}$.

Theo giả thiết $SG\bot(ABCD)$, mà $AC\bot GO$ (do $AC\bot BO$) nên $AC\bot(SGO)$.

Do đó góc nhị diện $\lbrack S,AC,G\rbrack = \widehat{SOG} = 60^{{^\circ}}$.

Trong tam giác vuông SGO, ta có $SG = GO \cdot \tan 60^{{^\circ}} = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = 3$.

Vì $AC\bot(SBD)$ tại O nên $d(AC,SD) = d(O,SD)$

Ta có $GD = GO + OD = \sqrt{3} + 3\sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Trong tam giác vuông SGD: $SD = \sqrt{SG^{2} + GD^{2}} = \sqrt{3^{2} + {(4\sqrt{3})}^{2}} = \sqrt{57}$.

Xét tam giác SOD có diện tích: $S_{\bigtriangleup SOD} = \dfrac{1}{2} \cdot OD \cdot SG = \dfrac{1}{2} \cdot 3\sqrt{3} \cdot 3 = \dfrac{9\sqrt{3}}{2}$.

Gọi h là khoảng cách từ O đến SD, ta có: $S_{\bigtriangleup SOD} = \dfrac{1}{2} \cdot SD \cdot h$

$\left. \Rightarrow h = \dfrac{2 \cdot S_{\bigtriangleup SOD}}{SD} = \dfrac{9\sqrt{3}}{\sqrt{57}} = \dfrac{9}{\sqrt{19}} \right.$.

Giá trị $a^{2} - b^{2} = 19^{2} - 9^{2} = 280$.

Đáp án cần điền là: 280

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.