Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A( - 1; - 4;4)$, $B( - 1; - 2;4)$ và $C(0; - 4;4)$. Mặt phẳng $(P)$ có

Câu hỏi số 952701:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A( - 1; - 4;4)$, $B( - 1; - 2;4)$ và $C(0; - 4;4)$. Mặt phẳng $(P)$ có dạng $ax + 2025y + cz + d = 0$ đi qua điểm $A$ sao cho hai điểm $B$, $C$ nằm về cùng một phía. Đặt $h_{1} = d(B,(P))$ là khoảng cách từ điểm $B$ đến mặt phẳng $(P)$ và $h_{2} = d(C,(P))$ là khoảng cách từ điểm $C$ đến mặt phẳng $(P)$. Khi biểu thức $2025h_{1} + 2026h_{2}$ đạt giá trị lớn nhất, giá trị của biểu thức $T = - 9a + 10c + d$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952701

Phương pháp giải

Gọi I là điểm nằm trên đoạn BC sao cho $2025\overset{\rightarrow}{IB} + 2026\overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Khi đó $2025d(B,(P)) + 2026d(C,(P)) = (2025 + 2026)d(I,(P)) = 4051 \cdot d(I,(P))$ và khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất khi và chỉ khi $(P)$ vuông góc với đường thẳng AI.

Giải chi tiết

Gọi I là điểm nằm trên đoạn BC sao cho $2025\overset{\rightarrow}{IB} + 2026\overset{\rightarrow}{IC} = \overset{\rightarrow}{0}$.

Khi đó ta có $I = \dfrac{2025B + 2026C}{2025 + 2026}$ hay $I = \left( {\dfrac{- 2025}{4051};\dfrac{- 12154}{4051};4} \right)$

Vì B, C nằm cùng phía với $(P)$, ta có:

$2025d(B,(P)) + 2026d(C,(P)) = (2025 + 2026)d(I,(P)) = 4051 \cdot d(I,(P))$

Để biểu thức này đạt giá trị lớn nhất, khoảng cách từ $I$ đến mặt phẳng $(P)$ (đi qua $A$) phải lớn nhất.

Khoảng cách $d(I,(P))$ lớn nhất khi và chỉ khi $(P)$ vuông góc với đường thẳng AI.

Khi đó, vectơ pháp tuyến ${\overset{\rightarrow}{n}}_{p}$ của mặt phẳng $(P)$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{AI}$.

$\overset{\rightarrow}{AI} = \left( {\dfrac{- 2025}{4051} - ( - 1);\dfrac{- 12154}{4051} - ( - 4);4 - 4} \right) = \left( {\dfrac{2026}{4051};\dfrac{4050}{4051};0} \right)$

Chọn vectơ pháp tuyến $\overset{\rightarrow}{n} = (1013;2025;0)$.

Mặt phẳng $(P)$ có dạng: $ax + 2025y + cz + d = 0$ nên $a = 1003;c = 0$

Vì $(P)$ đi qua $A( - 1; - 4;4)$, ta thay tọa độ $A$ vào phương trình:

$\left. 1013( - 1) + 2025( - 4) + 0(4) + d = 0\Rightarrow d = 9113 \right.$

Khi đó $T = - 9a + 10c + d = - 9.1013 + 10.0 + 9113 = - 4$.

Đáp án cần điền là: -4

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.