Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x \in {\mathbb{N}}$; $1 \leq x \leq 300$)

Câu hỏi số 952702:

Vận dụng

Nếu một doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm trong một tháng ($x \in {\mathbb{N}}$; $1 \leq x \leq 300$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F(x) = x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc bình quân cho mỗi sản phẩm khi sản xuất $x$ sản phẩm là $G(x) = 300 + \dfrac{100}{x}$ (nghìn đồng), chi phí mua nguyên vật liệu để sản xuất $x$ sản phẩm là $H(x) = 2x^{3} + 100000x - 50000$ (đồng). Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952702

Phương pháp giải

Thiết lập hàm lợi nhuận $P(x)$ = Doanh thu – Tổng chi phí. Đổi tất cả các đơn vị tiền tệ về cùng một đơn vị (đồng).

Tìm giá trị lớn nhất của hàm $P(x)$ trên tập hợp số tự nhiên bằng cách tính đạo hàm $P'(x) = 0$ và so sánh các giá trị lân cận nghiệm.

Giải chi tiết

Chi phí vận hành máy móc cho x sản phẩm là:

$C_{1}(x) = x \cdot G(x) = x\left( {300 + \dfrac{100}{x}} \right)$ (nghìn đồng) = $300000x + 100000$ (đồng)

Tổng chi phí sản xuất $x$ sản phẩm:

$C(x) = C_{1}(x) + H(x) = 300000x + 100000 + 2x^{3} + 100000x - 50000 = 2x^{3} + 400000x + 50000$ (đồng)

Hàm lợi nhuận của doanh nghiệp:

$P(x) = F(x) - C(x) = (x^{3} - 1999x^{2} + 1001000x + 250000) - (2x^{3} + 400000x + 50000)$

$P(x) = - x^{3} - 1999x^{2} + 601000x + 200000$.

Xét đạo hàm hàm lợi nhuận trên miền $x \geq 1$:

$P'(x) = - 3x^{2} - 3998x + 601000$.

Cho $\left. P'(x) = 0\Leftrightarrow - 3x^{2} - 3998x + 601000 = 0 \right.$ $\left. \Rightarrow x \approx 136,37 \right.$

Vì $x \in {\mathbb{N}}$ và hàm số đạt cực đại tại nghiệm này, ta kiểm tra các giá trị nguyên gần nhất là $x = 136$ và $x = 137$.

$P(136) \approx 42447040$ (đồng).

$P(137) \approx 42446416$ (đồng).

Vậy lợi nhuận lớn nhất khi $x = 136$.

Đáp án cần điền là: 136

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.