Một vật bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_{0} = a$ $(m/s)$ với $a > 0$. Sau

Câu hỏi số 952700:

Vận dụng

Một vật bắt đầu chuyển động thẳng đều với vận tốc $v_{0} = a$ $(m/s)$ với $a > 0$. Sau $6$ giây chuyển động thì gặp chướng ngại vật nên bắt đầu giảm tốc độ với vận tốc chuyển động $v(t) = - \dfrac{5}{2}t + b$ $(m/s)$, $(t \geq 6)$ cho đến khi dừng hẳn. Biết rằng, kể từ lúc chuyển động đến lúc dừng thì vật đi được quãng đường là 80 (m). Giá trị của $a^{2} - b^{2}$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952700

Phương pháp giải

Sử dụng tích phân để tính quãng đường đi được của vật chuyển động với vận tốc $v(t)$: $S = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}v}(t)dt$.

Áp dụng tính liên tục của vận tốc tại thời điểm chuyển giao các giai đoạn chuyển động để tìm mối liên hệ giữa các tham số.

Giải chi tiết

Giai đoạn 1 (từ $t = 0$ đến $t = 6$): Vật chuyển động thẳng đều với vận tốc $v = a$.

Quãng đường đi được trong giai đoạn 1 là: $S_{1} = 6a$ $(m)$.

Giai đoạn 2 (từ $t = 6$ đến khi dừng hẳn $t = t_{1}$): Vật chuyển động với vận tốc $v(t) = - \dfrac{5}{2}t + b$.

Vật dừng hẳn khi $\left. v(t_{1}) = 0\Leftrightarrow - \dfrac{5}{2}t_{1} + b = 0\Leftrightarrow t_{1} = \dfrac{2b}{5} \right.$.

Tại thời điểm bắt đầu giảm tốc độ $\left( {t = 6} \right)$ thì vận tốc bằng $a$ (m/s) nên ta có

$\left. v(6) = a\Leftrightarrow - \dfrac{5}{2} \cdot 6 + b = a\Leftrightarrow b - 15 = a\Rightarrow b = a + 15 \right.$.

Quãng đường đi được trong giai đoạn 2 là

$\begin{array}{l} {S = 6a + {\int\limits_{6}^{\dfrac{2b}{5}}{\left( {- \dfrac{5}{2}t + b} \right)dt}} = 6\left( {b - 15} \right) + \left. \left( {\dfrac{- 5}{4}t^{2} + bt} \right) \right|_{6}^{\dfrac{2b}{5}}} \\ {= 6\left( {b - 15} \right) + \left( {\dfrac{- 5}{4}.\dfrac{4b^{2}}{25} + b.\dfrac{2b}{5}} \right) - \left( {\dfrac{- 5}{4}.6^{2} + b.6} \right)} \\ {= 6b - 90 - \dfrac{b^{2}}{5} + \dfrac{2b^{2}}{5} + 45 - 6b = \dfrac{b^{2}}{5} - 45} \end{array}$

Tổng quãng đường vật đi được là $S = S_{1} + S_{2} = 80$ nên $\left. \dfrac{b^{2}}{5} - 45 = 80\Rightarrow b = \pm 25 \right.$

Với $\left. b = - 25\Rightarrow a = - 25 - 15 = - 40 \right.$ (vô lý do $a > 0$)

Với $\left. a = 25\Rightarrow a = 25 - 15 = 10 \right.$ (thoả mãn)

Vậy giá trị của biểu thức là $a^{2} - b^{2} = 10^{2} - 25^{2} = 100 - 625 = - 525$.

Đáp án cần điền là: -525

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.