Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông, mặt bên (SAB) là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Biết góc giữa SC và (SAB) là $30^{{^\circ}}$ và khoảng cách từ A đến (SBC) là $\dfrac{\sqrt{33}}{3}a$. Thể tích khối chóp S.ABCD là
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
Xác định chân đường cao của hình chóp dựa vào định lý hai mặt phẳng vuông góc.
Xác định góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, chuyển đổi khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông để tìm cạnh đáy và chiều cao, từ đó tính thể tích.
Gọi H là trung điểm của cạnh AB. Vì tam giác SAB cân tại S nên trung tuyến SH đồng thời là đường cao, SH vuông góc với AB.
Mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy (ABCD) theo giao tuyến AB, nên SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD).
Gọi x là độ dài cạnh của hình vuông đáy ABCD (x > 0).
Ta có BC vuông góc với AB và BC vuông góc với SH, suy ra BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
Vì BC vuông góc với (SAB) nên hình chiếu vuông góc của điểm C lên mặt phẳng (SAB) là điểm B. Do đó hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên (SAB) là SB.
Góc giữa SC và mặt phẳng (SAB) là góc $\angle CSB = 30^{{^\circ}}$.
Xét tam giác SBC vuông tại B, ta có: $SB = \dfrac{BC}{\tan(30^{{^\circ}})} = \dfrac{x}{\dfrac{1}{\sqrt{3}}} = x\sqrt{3}$.
Xét tam giác SHB vuông tại H, áp dụng định lý Pythagore để tính đường cao SH:
$SH = \sqrt{SB^{2} - HB^{2}} = \sqrt{\left( {x\sqrt{3}} \right)^{2} - \left( \dfrac{x}{2} \right)^{2}} = \sqrt{3x^{2} - \dfrac{x^{2}}{4}} = \dfrac{x\sqrt{11}}{2}$.
Tiếp theo, tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC).
Vì đường thẳng AB cắt mặt phẳng (SBC) tại B và H là trung điểm của AB, ta có tỷ lệ khoảng cách: $d(A,(SBC)) = 2.d(H,(SBC))$.
Trong mặt phẳng (SAB), từ H kẻ HK vuông góc với SB tại K.
Ta có BC vuông góc với (SAB) nên BC vuông góc với HK.
Đường thẳng HK vuông góc với cả SB và BC nên HK vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Vậy $d(H,(SBC)) = HK$.
Trong tam giác vuông SHB, đường cao HK ứng với cạnh huyền SB được tính bằng hệ thức:
$HK = \dfrac{SH.HB}{SB} = \dfrac{\dfrac{x\sqrt{11}}{2}.\dfrac{x}{2}}{x\sqrt{3}} = \dfrac{x\sqrt{11}}{4\sqrt{3}}$.
Từ đó suy ra khoảng cách từ A đến (SBC) là: $d(A,(SBC)) = 2.HK = \dfrac{x\sqrt{11}}{2\sqrt{3}}$.
Theo giả thiết, khoảng cách này bằng $\dfrac{\sqrt{33}}{3}a = \dfrac{a\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$.
Ta có phương trình: $\left. \dfrac{x\sqrt{11}}{2\sqrt{3}} = \dfrac{a\sqrt{11}}{\sqrt{3}}\Rightarrow x = 2a \right.$.
Khi đó, diện tích đáy của hình chóp là: $S_{ABCD} = x^{2} = {(2a)}^{2} = 4a^{2}$.
Chiều cao của hình chóp là: $SH = \dfrac{x\sqrt{11}}{2} = \dfrac{2a\sqrt{11}}{2} = a\sqrt{11}$.
Thể tích khối chóp S.ABCD là:
$V = \dfrac{1}{3}S_{ABCD}.SH = \dfrac{1}{3}.4a^{2}.a\sqrt{11} = \dfrac{4\sqrt{11}}{3}a^{3}$.
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
