Cho hàm số $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$. Những phương án nào dưới đây

Câu hỏi số 952964:

Thông hiểu

Cho hàm số $f(x) = x^3 + 3x^2 - 4$. Những phương án nào dưới đây đúng?

Hàm số đã cho có đạo hàm là $f'(x) = 3x^{2} + 6x$.

B. Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng $( - 1; + \infty)$.

C. Hàm số đã cho đạt cực đại tại $x = - 2$.

D. Đồ thị của hàm số đã cho có dạng như hình vẽ bên.

Đáp án đúng là: A; C; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952964

Phương pháp giải

Sử dụng các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số đa thức bậc ba theo chương trình giáo dục phổ thông 2018:

Tính đạo hàm $f'(x)$ để kiểm tra ý 1.

Giải phương trình $f'(x) = 0$ và lập bảng xét dấu $f'(x)$ để tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến (kiểm tra ý 2) và điểm cực trị của hàm số (kiểm tra ý 3).

Tìm các điểm cực trị, giao điểm của đồ thị với các trục tọa độ và xét dấu hệ số a để đối chiếu, nhận dạng đồ thị (kiểm tra ý 4).

Giải chi tiết

Tập xác định của hàm số là $D = {\mathbb{R}}$.

Đạo hàm: $f'(x) = (x^{3} + 3x^{2} - 4)' = 3x^{2} + 6x$.

Vậy phương án 1 đúng.

Cho $\left. f'(x) = 0\Leftrightarrow 3x^{2} + 6x = 0\Leftrightarrow x = 0 \right.$ hoặc $x = - 2$.

Xét dấu $f'(x)$:

$f'(x) > 0$ trên các khoảng $( - \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$.

$f'(x) < 0$ trên khoảng $( - 2;0)$.

Do đó, hàm số đồng biến trên các khoảng $( - \infty; - 2)$ và $(0; + \infty)$; nghịch biến trên khoảng $( - 2;0)$.

Vì khoảng $( - 1;0)$ nằm trong khoảng $( - 1; + \infty)$ mà trên đó hàm số nghịch biến nên hàm số không thể đồng biến trên toàn bộ khoảng $( - 1; + \infty)$.

Vậy phương án 2 sai.

Từ xét dấu $f'(x)$, ta thấy $f'(x)$ đổi dấu từ dương sang âm khi $x$ đi qua $- 2$ (theo chiều tăng của $x$). Do đó, hàm số đạt cực đại tại $x = - 2$.

Vậy phương án 3 đúng.

Xét đồ thị của hàm số $f(x) = x^{3} + 3x^{2} - 4$:

Điểm cực đại là $( - 2;0)$ và điểm cực tiểu là $(0; - 4)$.

Giao điểm với trục tung: Cho $\left. x = 0\Rightarrow y = - 4 \right.$.

Giao điểm với trục hoành: Cho $\left. y = 0\Leftrightarrow x^{3} + 3x^{2} - 4 = 0\Leftrightarrow x = 1 \right.$ hoặc $x = - 2$. Đồ thị cắt trục hoành tại $(1;0)$ và tiếp xúc với trục hoành tại $( - 2;0)$.

Hệ số $a = 1 > 0$ nên nhánh bên phải của đồ thị hướng lên trên.

Đối chiếu với hình vẽ đề bài cung cấp, ta thấy đồ thị hoàn toàn trùng khớp với các đặc điểm trên.

Vậy phương án 4 đúng.

Đáp án cần chọn là: A; C; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.