Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 2}{- 1}$ và mặt

Câu hỏi số 952965:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz , cho đường thẳng $\Delta:\dfrac{x}{1} = \dfrac{y - 1}{2} = \dfrac{z - 2}{- 1}$ và mặt phẳng $(P):2x + y - 2z - 3 = 0$. Mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng $\Delta$ , cắt mặt phẳng $(P)$ theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r = \sqrt{2}$ và đi qua giao điểm M của (P) và $\Delta$ . Những phương án nào dưới đây đúng?

A. Vectơ $\overset{\rightarrow}{n} = (1;2; - 1)$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ .

B. $M(1;3;1)$ .

C. $d(I,(P)) = 3$ .

D. Biết I có hoành độ dương, mặt cầu $(S)$ có phương trình là ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + z^{2} = 6$ .

Đáp án đúng là: B; D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952965

Phương pháp giải

Đọc tọa độ vectơ pháp tuyến của mặt phẳng từ phương trình tổng quát.

Tìm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng bằng cách chuyển đường thẳng về dạng tham số và thế vào phương trình mặt phẳng.

Tham số hóa tọa độ tâm I thuộc đường thẳng $\Delta$.

Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P).

Sử dụng định lý Pytago cho mặt cầu cắt mặt phẳng: $R^{2} = d^{2} + r^{2}$, trong đó R là bán kính mặt cầu, d là khoảng cách từ tâm đến mặt phẳng, và r là bán kính đường tròn giao tuyến. Lưu ý điểm M thuộc đường tròn giao tuyến nên M nằm trên mặt cầu, do đó khoảng cách IM = R.

Từ phương trình ẩn, tìm ra tham số của điểm I, từ đó lập phương trình mặt cầu.

Giải chi tiết

a) Sai. Mặt phẳng $(P):2x + y - 2z - 3 = 0$ có một vectơ pháp tuyến là ${\overset{\rightarrow}{n}}_{(P)} = (2;1; - 2)$.

Ta thấy vectơ $\overset{\rightarrow}{n} = (1;2; - 1)$ không cùng phương với ${\overset{\rightarrow}{n}}_{(P)}$ nên nó không phải là vectơ pháp tuyến của $(P)$.

b) Đúng. Điểm M là giao điểm của $\Delta$ và $(P)$. Chuyển phương trình đường thẳng $\Delta$ về dạng tham số: $x = t$; $y = 1 + 2t$; $z = 2 - t$.

Thay tọa độ này vào phương trình mặt phẳng (P) ta được:

$2t + (1 + 2t) - 2(2 - t) - 3 = 0$

$\left. \Leftrightarrow 6t - 6 = 0\Leftrightarrow t = 1 \right.$.

Với $t = 1$, suy ra $x = 1,y = 3,z = 1$. Vậy $M(1;3;1)$.

c) Sai. Điểm I thuộc $\Delta$ nên gọi tọa độ của $I$ là $I(a;1 + 2a;2 - a)$.

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

$\left. d = d(I,(P)) = \dfrac{\left| 2a + (1 + 2a) - 2(2 - a) - 3 \right|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {( - 2)}^{2}}} = \dfrac{|6a - 6|}{3} = 2 \middle| a - 1 \right|$.

Vì mặt cầu (S) đi qua M nên bán kính mặt cầu là đoạn IM:

$R^{2} = IM^{2} = {(1 - a)}^{2} + {(3 - (1 + 2a))}^{2} + {(1 - (2 - a))}^{2} = 6{(a - 1)}^{2}$.

Mặt cầu (S) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến là đường tròn có bán kính $r = \sqrt{2}$.

Khi đó $R^{2} = d^{2} + r^{2}$

$\left. \Rightarrow 6{(a - 1)}^{2} = \left. (2 \middle| a - 1 \middle| ) \right.^{2} + {(\sqrt{2})}^{2} \right.$

$\left. \Leftrightarrow 6{(a - 1)}^{2} = 4{(a - 1)}^{2} + 2 \right.$

$\left. \Leftrightarrow 2{(a - 1)}^{2} = 2\Leftrightarrow{(a - 1)}^{2} = 1\Leftrightarrow \middle| a - 1 \middle| = 1 \right.$.

Khi đó, khoảng cách $\left. d(I,(P)) = 2 \middle| a - 1 \middle| = 2(1) = 2 \neq 3 \right.$.

d) Đúng. Từ phương trình $\left. {(a - 1)}^{2} = 1\Rightarrow\left\lbrack \begin{array}{l} {a = 2} \\ {a = 0} \end{array} \right. \right.$

Theo giả thiết, điểm I có hoành độ dương (nghĩa là $x_{I} = a > 0$), do đó ta nhận giá trị $a = 2$.

Với $a = 2$, tâm mặt cầu là $I(2;5;0)$.

Bán kính mặt cầu là $R = \sqrt{6{(2 - 1)}^{2}} = \sqrt{6}$.

Phương trình mặt cầu $(S)$ là: ${(x - 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} + z^{2} = 6$.

Đáp án cần chọn là: B; D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.