Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(2; - 3;4)$, mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 12 = 0$ và mặt cầu

Câu hỏi số 952983:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho điểm $M(2; - 3;4)$, mặt phẳng $(P):x - 2y + z - 12 = 0$ và mặt cầu $(S)$ có tâm $I(1;2;3)$ và bán kính $R = 5$. Gọi d là đường thẳng đi qua M, nằm trong (P) và cắt (S) theo dây cung có độ dài lớn nhất. Biết $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;3)$ là một vecto chỉ phương của d, tính $4a + 5b$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 27

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952983

Phương pháp giải

Xác định vị trí tương đối của mặt phẳng (P) và mặt cầu (S). Nếu mặt phẳng cắt mặt cầu thì giao tuyến là một đường tròn (C).

Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và cắt (S) theo dây cung lớn nhất khi và chỉ khi đoạn thẳng đó là đường kính của đường tròn giao tuyến (C). Tức là d phải đi qua tâm H của đường tròn (C).

Tâm H của đường tròn giao tuyến chính là hình chiếu vuông góc của tâm mặt cầu I lên mặt phẳng (P).

Tìm tọa độ điểm H. Vectơ chỉ phương của đường thẳng d sẽ cùng phương với vectơ $\overset{\rightarrow}{MH}$.

Đồng nhất hệ số với vectơ $\overset{\rightarrow}{u}$ để tìm a, b và tính kết quả.

Giải chi tiết

Khoảng cách từ tâm $I(1;2;3)$ đến mặt phẳng $(P)$ là:

$d(I,(P)) = \dfrac{|1 - 2.2 + 3 - 12|}{\sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{| - 12|}{\sqrt{6}} = 2\sqrt{6}$

Vì $d(I,(P)) = 2\sqrt{6} < R = 5$, nên mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến (C).

Gọi H là tâm của đường tròn (C), suy ra H là hình chiếu vuông góc của I lên (P).

Phương trình đường thẳng $\Delta$ đi qua I và vuông góc với $(P)$ nhận ${\overset{\rightarrow}{n}}_{P} = (1; - 2;1)$ làm vectơ chỉ phương là: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 1 + t} \\ {y = 2 - 2t} \\ {z = 3 + t} \end{array} \right.$

Vì $H \in \Delta$ nên tọa độ $H$ có dạng $H(1 + t;2 - 2t;3 + t)$.

Lại có $H \in (P)$ nên ta thay tọa độ $H$ vào phương trình $(P)$:

$\left. (1 + t) - 2(2 - 2t) + (3 + t) - 12 = 0\Leftrightarrow 6t - 12 = 0\Leftrightarrow t = 2 \right.$

Suy ra tọa độ điểm $H(3; - 2;5)$.

Đường thẳng d đi qua M, nằm trong (P) và cắt (S) theo dây cung lớn nhất nên d phải đi qua tâm H của đường tròn giao tuyến (C).

Ta có $\overset{\rightarrow}{MH} = (3 - 2; - 2 - ( - 3);5 - 4) = (1;1;1)$.

Đường thẳng d đi qua M và H nên nhận $\overset{\rightarrow}{MH}$ làm một vectơ chỉ phương.

Theo bài ra, $\overset{\rightarrow}{u} = (a;b;3)$ là một vectơ chỉ phương của $d$. Do đó $\overset{\rightarrow}{u}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{MH}$, nghĩa là tồn tại số thực k sao cho:

$\left. \overset{\rightarrow}{u} = k\overset{\rightarrow}{MH}\Leftrightarrow\left\{ \begin{array}{l} {a = k.1} \\ {b = k.1} \\ {3 = k.1} \end{array} \right.\Rightarrow\left\{ \begin{array}{l} {k = 3} \\ {a = 3} \\ {b = 3} \end{array} \right. \right.$

Vậy $4a + 5b = 4.3 + 5.3 = 12 + 15 = 27$.

Đáp án cần điền là: 27

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.