Một vật bắt đầu chuyển động thẳng từ trạng thái đứng yên, có vận tốc

Câu hỏi số 952982:

Vận dụng

Một vật bắt đầu chuyển động thẳng từ trạng thái đứng yên, có vận tốc là một hàm số liên tục theo thời gian $v(t)$ (m/s). Trong 6 giây đầu tiên kể từ lúc bắt đầu chuyển động, vật chuyển động với gia tốc không đổi là $2\text{m/s}^{2}$. Từ giây thứ 6 đến giây thứ 18, vật chuyển động với hàm số gia tốc theo thời gian là $a(t) = \dfrac{1}{3}t - 2\text{(m/s}^{2})$. Kể từ giây thứ 18, vật chuyển động chậm dần đều và dừng hẳn ở giây thứ 30. Tính quãng đường mà vật đi được kể từ lúc bắt đầu chuyển động cho đến lúc dừng hẳn.

Đáp án:

Đáp án đúng là: 492

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952982

Phương pháp giải

Sử dụng ứng dụng của tích phân trong chuyển động:

Vận tốc là nguyên hàm của gia tốc theo thời gian: $v(t) = {\int a}(t)dt$.

Quãng đường là tích phân của vận tốc theo thời gian: $s = {\int_{t_{1}}^{t_{2}}v}(t)dt$.

Sử dụng tính chất liên tục của hàm vận tốc $v(t)$ tại các thời điểm chuyển giao giữa các giai đoạn chuyển động để tìm hằng số $C$.

Giải chi tiết

Quá trình chuyển động của vật được chia làm 3 giai đoạn:

Giai đoạn 1: Từ $t = 0$ đến $t = 6$ giây

Vật bắt đầu từ trạng thái đứng yên nên $v_{1}(0) = 0$.

Gia tốc $a_{1}(t) = 2$.

Hàm vận tốc: $v_{1}(t) = {\int 2}dt = 2t + C_{1}$.

Vì $v_{1}(0) = 0$ nên $\left. C_{1} = 0\Rightarrow v_{1}(t) = 2t \right.$.

Vận tốc đạt được ở cuối giai đoạn 1 (tại $t = 6$): $v_{1}(6) = 2.6 = 12\text{(m/s)}$.

Quãng đường đi được trong 6 giây đầu: $s_{1} = {\int_{0}^{6}2}tdt = 36\text{(m)}$.

Giai đoạn 2: Từ $t = 6$ đến $t = 18$ giây

Gia tốc $a_{2}(t) = \dfrac{1}{3}t - 2$.

Hàm vận tốc: $v_{2}(t) = {\int\left( {\dfrac{1}{3}t - 2} \right)}dt = \dfrac{1}{6}t^{2} - 2t + C_{2}$.

Vì hàm vận tốc liên tục nên vận tốc đầu giai đoạn 2 bằng vận tốc cuối giai đoạn 1: $v_{2}(6) = v_{1}(6) = 12$.

$\left. \Rightarrow\dfrac{1}{6}.6^{2} - 2.6 + C_{2} = 12\Leftrightarrow C_{2} = 18 \right.$.

Ta có: $v_{2}(t) = \dfrac{1}{6}t^{2} - 2t + 18$.

Vận tốc đạt được ở cuối giai đoạn 2 (tại $t = 18$): $v_{2}(18) = 36\text{(m/s)}$.

Quãng đường đi được từ giây thứ 6 đến giây thứ 18:

$s_{2} = {\int_{6}^{18}\left( {\dfrac{1}{6}t^{2} - 2t + 18} \right)}dt = 240\text{~(m)}$.

Giai đoạn 3: Từ $t = 18$ đến $t = 30$ giây

Vật chuyển động chậm dần đều nên gia tốc là một hằng số $a_{3}(t) = a$.

Hàm vận tốc: $v_{3}(t) = {\int a}dt = at + C_{3}$.

Hàm vận tốc liên tục tại $t = 18$ nên $\left. v_{3}(18) = v_{2}(18) = 36\Rightarrow 18a + C_{3} = 36 \right.$ (1).

Vật dừng hẳn ở giây thứ 30 nên $\left. v_{3}(30) = 0\Rightarrow 30a + C_{3} = 0 \right.$ (2).

Giải hệ phương trình gồm (1) và (2) ta thu được: $a = - 3$ và $C_{3} = 90$.

Ta có: $v_{3}(t) = - 3t + 90$.

Quãng đường đi được từ giây thứ 18 đến khi dừng hẳn:

$s_{3} = {\int_{18}^{30}{( - 3t + 90)}}dt = 216\text{(m)}$.

Tổng quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc dừng hẳn là:

$S = s_{1} + s_{2} + s_{3} = 36 + 240 + 216 = 492\text{(m)}$.

Đáp án cần điền là: 492

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.