Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2; - 1;1),M(5;3;1),N(4;1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có

Câu hỏi số 952984:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm $A(2; - 1;1),M(5;3;1),N(4;1;2)$ và mặt phẳng $(P)$ có phương trình $y + z - 27 = 0$. Gọi B là điểm thuộc tia AM, C là điểm thuộc (P) và D là điểm thuộc tia AN sao cho tứ giác ABCD là hình thoi. Biết $C(a;b;c)$. Tính $a - 2b + 3c$.

Đáp án:

Đáp án đúng là: -3

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952984

Phương pháp giải

Vì ABCD là hình thoi nên đường chéo AC là đường phân giác trong của góc $\widehat{MAN}$.

Đường thẳng AC sẽ có một vectơ chỉ phương là tổng của hai vectơ đơn vị cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{AM}$ và $\overset{\rightarrow}{AN}$. Cụ thể: ${\overset{\rightarrow}{u}}_{AC} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AM}}{\left| \overset{\rightarrow}{AM} \right|} + \dfrac{\overset{\rightarrow}{AN}}{\left| \overset{\rightarrow}{AN} \right|}$.

Viết phương trình đường thẳng AC dưới dạng tham số, do C nằm trên tia phân giác nên tham số $t > 0$.

Cho điểm C thuộc mặt phẳng (P) để giải tìm tham số t, từ đó suy ra tọa độ điểm $C(a;b;c)$.

Tính giá trị biểu thức $a - 2b + 3c$.

Giải chi tiết

Ta có:

$\left. \overset{\rightarrow}{AM} = (3;4;0)\Rightarrow \middle| \overset{\rightarrow}{AM} \middle| = \sqrt{3^{2} + 4^{2} + 0^{2}} = 5 \right.$.

$\left. \overset{\rightarrow}{AN} = (2;2;1)\Rightarrow \middle| \overset{\rightarrow}{AN} \middle| = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + 1^{2}} = 3 \right.$.

Gọi ${\overset{\rightarrow}{u}}_{1}$ và ${\overset{\rightarrow}{u}}_{2}$ lần lượt là các vectơ đơn vị cùng hướng với $\overset{\rightarrow}{AM}$ và $\overset{\rightarrow}{AN}$. Ta có:

${\overset{\rightarrow}{u}}_{1} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AM}}{\left| \overset{\rightarrow}{AM} \right|} = \left( {\dfrac{3}{5};\dfrac{4}{5};0} \right)$

${\overset{\rightarrow}{u}}_{2} = \dfrac{\overset{\rightarrow}{AN}}{\left| \overset{\rightarrow}{AN} \right|} = \left( {\dfrac{2}{3};\dfrac{2}{3};\dfrac{1}{3}} \right)$

Vì ABCD là hình thoi nên AC là đường phân giác của góc $\widehat{MAN}$. Vectơ chỉ phương của đường phân giác trong là:

$\overset{\rightarrow}{u} = {\overset{\rightarrow}{u}}_{1} + {\overset{\rightarrow}{u}}_{2} = \left( {\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{3};\dfrac{4}{5} + \dfrac{2}{3};0 + \dfrac{1}{3}} \right) = \left( {\dfrac{19}{15};\dfrac{22}{15};\dfrac{5}{15}} \right)$

Chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng AC là $\overset{\rightarrow}{v} = 15\overset{\rightarrow}{u} = (19;22;5)$.

Phương trình tham số của đường thẳng AC đi qua $A(2; - 1;1)$ có dạng: $\left\{ \begin{array}{l} {x = 2 + 19t} \\ {y = - 1 + 22t} \\ {z = 1 + 5t} \end{array} \right.$

Do $C$ thuộc tia phân giác trong góc $A$ (tia AC) nên $t > 0$.

Tọa độ điểm $C$ có dạng $C(2 + 19t; - 1 + 22t;1 + 5t)$.

Vì $C \in (P):y + z - 27 = 0$, ta thay tọa độ $C$ vào phương trình $(P)$:

$( - 1 + 22t) + (1 + 5t) - 27 = 0$

$\left. \Leftrightarrow t = 1 \right.$ (thỏa mãn $t > 0$)

Với $t = 1$, ta tìm được tọa độ điểm $C(21;21;6)$

Ta tính giá trị biểu thức: $a - 2b + 3c = 21 - 2.21 + 3.6 = - 3$.

Đáp án cần điền là: -3

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.