Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$ và mặt phẳng

Câu hỏi số 952985:

Vận dụng

Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$ và mặt phẳng $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$. Gọi M, N là các điểm lần lượt thuộc (P) và (S) sao cho vectơ $\overset{\rightarrow}{MN}$ cùng phương với vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = (1;0;1)$. Tìm giá trị lớn nhất của độ dài MN (làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án:

Đáp án đúng là: 4,24

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:952985

Phương pháp giải

Xác định tâm I và bán kính R của mặt cầu (S).

Sử dụng giả thiết $\overset{\rightarrow}{MN}$ cùng phương với $\overset{\rightarrow}{u}$ để thiết lập mối liên hệ tọa độ giữa điểm M và điểm N thông qua một tham số t.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng (P) để suy ra quỹ tích của điểm N là một mặt phẳng (P') chứa tham số t.

Sử dụng điều kiện mặt cầu (S) và mặt phẳng (P') có điểm chung (khoảng cách từ tâm I đến (P') nhỏ hơn hoặc bằng R) để chặn giá trị của tham số t.

Biểu diễn độ dài đoạn thẳng MN theo t và tìm giá trị lớn nhất dựa trên điều kiện của t vừa tìm được.

Giải chi tiết

Mặt cầu $(S)$ có phương trình $x^{2} + y^{2} + z^{2} + 2x - 4y - 2z + 5 = 0$.

Tâm của mặt cầu là $I( - 1;2;1)$ và bán kính $R = \sqrt{{( - 1)}^{2} + 2^{2} + 1^{2} - 5} = 1$.

Vì vectơ $\overset{\rightarrow}{MN}$ cùng phương với vectơ $\overset{\rightarrow}{u} = (1;0;1)$ nên tồn tại số thực $t$ sao cho $\overset{\rightarrow}{MN} = t\overset{\rightarrow}{u} = (t;0;t)$.

Suy ra $\overset{\rightarrow}{OM} = \overset{\rightarrow}{ON} - t\overset{\rightarrow}{u}$, hay tọa độ điểm $M$ được biểu diễn theo $N$ là: $M(x_{N} - t;y_{N};z_{N} - t)$.

Do điểm M thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của M thỏa mãn phương trình (P).

Ta thay tọa độ M vào phương trình $(P):x - 2y + 2z - 3 = 0$:

$(x_{N} - t) - 2y_{N} + 2(z_{N} - t) - 3 = 0$

$\left. \Leftrightarrow x_{N} - 2y_{N} + 2z_{N} - 3t - 3 = 0 \right.$

Điều này chứng tỏ điểm N luôn nằm trên mặt phẳng (P') có phương trình: $x - 2y + 2z - 3t - 3 = 0$

Mặt khác, giả thiết cho điểm N thuộc mặt cầu (S). Để tồn tại điểm N thỏa mãn cả hai điều kiện (nằm trên (P') và nằm trên (S)), mặt phẳng (P') phải cắt hoặc tiếp xúc với mặt cầu (S).

Điều kiện xảy ra là khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P') phải nhỏ hơn hoặc bằng bán kính R:

$d(I,(P')) \leq R$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\left| {- 1 - 2 \cdot 2 + 2 \cdot 1 - 3t - 3} \right|}{\sqrt{1^{2} + {( - 2)}^{2} + 2^{2}}} \leq 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\dfrac{\left| {- 3t - 6} \right|}{3} \leq 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left| {- t - 2} \right| \leq 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow\left| {t + 2} \right| \leq 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 1 \leq t + 2 \leq 1 \right.$

$\left. \Leftrightarrow - 3 \leq t \leq - 1 \right.$

Độ dài đoạn thẳng MN được tính theo công thức độ dài vectơ:

$MN = \left| \overset{\rightarrow}{MN} \right| = \sqrt{t^{2} + 0^{2} + t^{2}} = |t|.\sqrt{2}$

Do $- 3 \leq t \leq - 1$ nên $|t| \leq 3$.

Suy ra $MN = |t|\sqrt{2} \leq 3\sqrt{2}$.

Dấu bằng xảy ra khi $t = - 3$.

Vậy giá trị lớn nhất của độ dài MN là $3\sqrt{2} \approx 4,24$.

Đáp án cần điền là: 4,24

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.