Xếp 8 quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm 10 ngăn. Gọi P là xác suất để xếp 8 quyển

Câu hỏi số 955399:

Vận dụng

Xếp 8 quyển sách giống nhau vào một giá sách gồm 10 ngăn. Gọi P là xác suất để xếp 8 quyển sách vào 10 ngăn sao cho số quyển sách trong mỗi ngăn không quá 2 quyển sách, có 4 ngăn hoặc 6 ngăn chứa đúng 1 quyển sách và các ngăn liền kề với ngăn chứa 2 quyển sách là ngăn không có quyển sách nào. Tính 12155P.

Trả lời:

Đáp án đúng là:

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:955399

Phương pháp giải

Sử dụng bài toán chia kẹo Euler.

Đếm số cách xếp thỏa mãn các điều kiện ràng buộc về số lượng sách mỗi ngăn và vị trí các ngăn.

Giải chi tiết

Số cách xếp 8 quyển sách vào 10 ngăn là số nghiệm của phương trình $x_{1} + x_{2} + ... + x_{10} = 8$.

Số phần tử không gian mẫu là $n(\Omega) = C_{10 + 8 - 1}^{10 - 1} = C_{17}^{9} = 24310$.

Gọi $n_{2}$, $n_{1}$, $n_{0}$ lần lượt là số ngăn chứa 2 quyển, 1 quyển và 0 quyển sách.

Ta có hệ: $\left\{ \begin{array}{l} {2n_{2} + n_{1} = 8} \\ {n_{2} + n_{1} + n_{0} = 10} \end{array} \right.$

Theo đề bài, có 2 trường hợp cho $n_{1}$:

Trường hợp 1: $n_{1} = 4$$\left. \Rightarrow n_{2} = 2 \right.$, $n_{0} = 4$.

Có 4 ngăn '0', 4 ngăn '1' và 2 ngăn '2'. Điều kiện: ngăn kề ngăn '2' phải là ngăn '0'.

- Xếp 4 ngăn '0' thành hàng, tạo ra 5 khoảng trống: “_ 0 _ 0 _ 0 _ 0 _”.

- Chọn 2 trong 5 khoảng trống để đặt 2 ngăn '2' có $C_{5}^{2} = 10$ cách.

- 4 ngăn '1' phải được xếp vào các khoảng trống còn lại. Số khoảng trống còn lại là $5 - 2 = 3$

- Số cách xếp 4 ngăn '1' vào 3 khoảng trống này là: $C_{4 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{6}^{2} = 15$ cách.

$\Rightarrow$ Số cách ở TH1: $10.15 = 150$.

Trường hợp 2: $n_{1} = 6$$\left. \Rightarrow n_{2} = 1 \right.$, $n_{0} = 3$

Mô hình: Có 3 ngăn '0', 6 ngăn '1' và 1 ngăn '2'.

- Xếp 3 ngăn '0' thành hàng, tạo ra 4 khoảng trống: “_ 0 _ 0 _ 0 _”.

- Chọn 1 trong 4 khoảng trống cho ngăn '2': có $C_{4}^{1} = 4$ cách.

- 6 ngăn '1' còn lại xếp vào 3 khoảng trống còn lại: $C_{6 + 3 - 1}^{3 - 1} = C_{8}^{2} = 28$ cách.

$\Rightarrow$ Số cách ở TH2: $4.28 = 112$.

Vậy tổng số cách thuận lợi: $n(A) = 150 + 112 = 262$.

Xác suất cần tính $P = \dfrac{262}{24310} = \dfrac{131}{12155}$.

Vậy $12155P = 12155.\dfrac{131}{12155} = 131$.

Đáp án cần điền là: 131

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.